📂動力学

スローファストシステム

定義 ¹

スロー・ファストシステム

ユークリッド空間の開部分集合 $W \subset \mathbb{R}^{m + n}$ の要素が $\left( \mathbf{x}, \mathbf{y} \right)$ のように表されるとする。$k \in \mathbb{N}$ で、二つの関数 $\mathbf{f} : W \times [0,1] \to \mathbb{R}^{m}$ と $\mathbf{g} : W \times [0,1] \to \mathbb{R}^{n}$ と $t = \xi \tau$ が、$\xi \in (0,1)$ に対して与えられた$C^{k}$ クラスに属するように、 $$\begin{align*} {{ d \mathbf{x} } \over { d \tau }} =& \mathbf{f} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , \xi \right) \\ {{ d \mathbf{y} } \over { d \tau }} =& \xi \mathbf{g} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , \xi \right) \end{align*}$$ をファストシステム、 $$\begin{align*} \xi {{ d \mathbf{x} } \over { d t }} =& \mathbf{f} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , \xi \right) \\ {{ d \mathbf{y} } \over { d t }} =& \mathbf{g} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , \xi \right) \end{align*}$$ をスローシステムという。このようなカップルドダイナミックシステムを**$(m,n)$-スロー・ファストシステム**という。

レイヤーシステム

ファストシステムで $\xi \to 0$ を適用して得られる次のシステムをレイヤーシステムという。 $$\begin{align*} {{ d \mathbf{x} } \over { d \tau }} =& \mathbf{f} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , 0 \right) \\ {{ d \mathbf{y} } \over { d \tau }} =& 0 \end{align*}$$

リデュースドシステム

スローシステムで $\xi \to 0$ を適用して得られる次のシステムをリデュースドシステムという。 $$\begin{align*} 0 =& \mathbf{f} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , 0 \right) \\ {{ d \mathbf{y} } \over { d t }} =& \mathbf{g} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , 0 \right) \end{align*}$$

説明

定義から直感的にわかるように、スロー・ファストシステムは明確なカップリングがある一つのシステムだが、時間の流れが二種類あるダイナミックシステムである。