📂抽象代数

抽象代数における微分体

定義 ¹

$R$を(アーベル的) 環としよう。次を満たす関数 $d: R \to R$を微分^derivationと呼ぶ。 $$\begin{align*} d \left( x + y \right) =& d (x) + d(y) \\ d \left( x y \right) =& d (x) y + x d(y) \end{align*}$$ 順序対 $\left( R, d \right)$を微分環^{differential ring}と言う。$R$が単位元 $1$を持つとする。加法に対する単位元$0 \in R$に対して$d (c) = 0$を満たす$c \in R$の集合は$1$を含む$R$の部分環であり、定数たちの環である意味で定数環^{constant ring}と呼ばれる。

微分環 $\left( F, \partial \right)$の$F$が体である場合、それを微分体^{differential field}と呼び、その定数環を定数体^{field of constant}と呼ぶ。

説明

すべての体が環であるため、このような定義が自然と現れるし、実際に微分環 $\left( R , d \right)$が整域であるだけで、それに対応する分数体は微分体となる。実は、分数環に対しても条件をさらに緩和した一般化された定理は存在するが、²わざわざそうせずに、整域についてだけ簡単に見てみよう。

定理

$A$が整域であるとしよう。 $$(a,s) \equiv (b,t) \iff at = bs$$ 上のように定義された同値関係$\equiv$を$A$と$S$のデカルト積$A \times S$で定義するとき、$(a,s)$の同値類を$a/s$と表し、その同値類の集合を$S^{-1} A := A \times S / \equiv$のように表そう。二つの新しい操作$\oplus$、$\odot$を $$\begin{align*} {{ a } \over { s }} \oplus {{ b } \over { t }} :=& {{ at + bs } \over { st }} \\ {{ a } \over { s }} \odot {{ b } \over { t }} :=& {{ ab } \over { st }} \end{align*}$$ 上記のように定義するとき、体 $\left( S^{-1} A , \oplus , \odot \right)$を$A$の分数体^{field of Fractions}と定義する。

微分環 $\left( R, d \right)$が整域であるとしよう。その場合、$R$の分数体 $F$に対して、$\left( F, \partial \right)$を微分体にする$d$の拡張関数 $\partial$が存在する。

証明

代数的微分式:

• [1]: $R$の加法に対する単位元$0$と定数環の元$c$と$r \in R$に対して、次が成立する。 $$\begin{align*} d \left( 0 \right) =& 0 \\ d \left( 1 \right) =& d (c) = 0 \\ d \left( c r \right) =& c d \left( r \right) \end{align*}$$
• [3] $R$の単位元$u$と$r \in R$に対して、次が成立する。 $$d \left( r u^{-1} \right) = \left[ d (r) u - r d (u) \right] u^{-2}$$

$R$が整域であると仮定したので、分数体$F$は具体的に決まっており、$d : R \to R$を$\partial : F \to F$に拡張しても$\left( F, \partial \right)$が微分体の条件を満たしていることを示せば十分である。まずすべての$r \in R$について $$d \left( r \right) = \partial \left( r \right)$$ としよう。$b \in R$を何か一つ選んだとき、$b = 0$であれば、任意の$a \in R$に対して $$d \left( a + b \right) = d \left( a + 0 \right) = d (a) + d(0) = d(a) + d(b)$$ を満たしつつ $$d \left( a b \right) = d \left( 0 \right) = 0 = d (a) 0 + a 0 = d (a) b + a d(b)$$ を満たす。$b$が$R$の加法に対する単位元$0$でなければ、分数体$F$では$b$は単位元であるため、乗法に対する逆元$b^{-1} = 1/b$が存在する。元の$d$の定義域は$R$なので、$d \left( b^{-1} \right)$は定義されていないかもしれず、その定義域を$F$に適切に拡張する必要がある。その微分は、$R$が整域であるという仮定の下で存在が保証されている単位元$1 \in R$の微分$d(1) = 0 = \partial (1)$を通して $$0 = \partial (1) = \partial \left( b b^{-1} \right) = \partial (b) b^{-1} + b \partial \left( b^{-1} \right) \\ \implies \partial \left( b^{-1} \right) = \partial \left( {{ 1 } \over { b }} \right) = - {{ \partial(b) } \over { b^{2} }}$$ のように定義することができる。ここで、$F$の演算は分数体の演算$\oplus$、$\odot$を使用しているが、読みやすさのため$+$、$\cdot$と続けて書いていることに注意しよう。この拡張により $$\begin{align*} \partial \left( a \cdot b^{-1} \right) =& {{ \partial(a) b - a \partial (b) } \over { b^{2} }} \\ =& \partial(a) {{ b } \over { b^{2} }} + a \cdot \left( - {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} \right) \\ =& \partial(a) b^{-1} + a \partial \left( b^{-1} \right) \end{align*}$$ であり、 $$\begin{align*} \partial \left( a + b^{-1} \right) = & \partial \left( {{ ab + 1 } \over { b }} \right) \\ =& \partial \left( ab + 1 \right) b^{-1} + \left[ ab + 1 \right] \partial \left( b^{-1} \right) \\ =& \partial \left( ab \right) b^{-1} - \left[ ab + 1 \right] {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} \\ =& \left[ \partial (a) b + a \partial(b) \right] b^{-1} - \left[ ab^{-1} + b^{-2} \right] \partial(b) \\ =& \partial (a) + a \partial(b) b^{-1} - ab^{-1} \partial(b) + b^{-2} \partial(b) \\ =& \partial (a) + \partial \left( b^{-1} \right) \end{align*}$$ である。つまり、$R$で定義された$d$は$F$に自然に拡張された。

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