📂レンマ

数学での閉じた形とは何か？

¹

数学では、関数の**閉じた式（クローズド フォーム）**は、有限回の記号と四則演算$+, -, \cdot, \div$、そしていくつかのよく知られた関数だけを使って表されるものをいう。よく知られた関数とは、根号$\sqrt[n]{\cdot}$、指数関数$\exp$、対数関数$\log$、三角関数$\sin , \cos$、階乗$\cdot !$などがある。通常、和$\sum$、積$\prod$、積分$\int$、極限$\lim$などは含まれない。

例

参考文献内の6番目のアプローチ^{sixth Approach}では、より数学的に厳密な定義を立てようとしているが、そこまで知る必要性を感じることは難しい。

存在する場合

例として無限等比級数を取ると$|r|<1$、次のようにクローズド フォームが存在する。 $$\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = { a \over {1-r}}$$ ここで具体的には右辺がクローズド フォームであり、左辺のようにクローズド フォームでない表現があっても、クローズド フォームの存在性に影響は与えない。したがって、「クローズド フォームが存在しない」と言う時には、通常は「クローズド フォームをまだ見つけていない」という意味の可能性が高く、「クローズド フォームが存在しないことを証明した」とはあまり言わない。

確かに、不存在を証明することは存在を証明することよりはるかに困難であり、「5次以上の方程式には根の公式が存在しない」という事実が広く知られている。いくつの次数であっても、その解の存在は代数学の基本定理によって保証されているが、具体的にその解をクローズド フォームで表すことはできないのである。

存在しない場合

微分方程式のうち、いくつかの教科書的な例を除いたほとんどがそうである。重力加速度$G$と質量が$m_{k}$の体^body3つの位置を$r_{k}$とするとき、次の結合動力学系の解を求める問題を三体問題^{three-body Problem}という。 $$\begin{align*} \ddot{r_{1}} =& G \left( m_{2} {{ r_{2} - r_{1} } \over { \left| r_{2} - r_{1} \right|^{3} }} + m_{3} {{ r_{3} - r_{1} } \over { \left| r_{3} - r_{1} \right|^{3} }} \right) \\ \ddot{r_{2}} =& G \left( m_{3} {{ r_{3} - r_{2} } \over { \left| r_{2} - r_{2} \right|^{3} }} + m_{1} {{ r_{1} - r_{2} } \over { \left| r_{1} - r_{2} \right|^{3} }} \right) \\ \ddot{r_{3}} =& G \left( m_{1} {{ r_{1} - r_{3} } \over { \left| r_{1} - r_{3} \right|^{3} }} + m_{2} {{ r_{2} - r_{3} } \over { \left| r_{2} - r_{3} \right|^{3} }} \right) \end{align*}$$ 1890年代にポアンカレ^poincaréは、何らかの意味で新しい数学が登場しない限りこれを解くことは不可能だと考えたが、その予想とは異なり、20年も経たないうちにフィンランドの若い数理天文学者カール・ソンドマン^{karl Sundman}は、当時存在した数学的テクニックだけを使用して、無限級数の形で問題を解いた。² 問題は、この級数の収束速度が非常に遅いため、十分に納得できる期間の動きを計算するためには$10^{8000000}$に比例する項を加える必要があり、この計算量は明らかに非現実的である。

このような例から、クローズド フォームがなぜ便利かを理解できるが、クローズド フォームが存在するということは、アルゴリズム的な側面から見たときに、その関数の関数値を計算する時間複雑度が劇的に下がることを意味する。これを有名なゴットフリート・ガウスの少年時代の逸話で説明するなら、等差数列の和 $$f(n) = \sum_{k=1}^{n} k$$ を求める問題で、普通の人が$1 + 2 + \cdots + n$から$O(n)$への繰り返しアルゴリズムでアプローチするときに、ガウスはそれをクローズド フォーム $$f(n) = {{ n(n+1) } \over { 2 }}$$ を通して$O(1)$のコストで解いたのである。