アークタンジェント2関数の定義
定義
アークタンジェント2arc Tangent 2 $\arctan 2 : \left( \mathbb{R}^{2} \setminus \left\{ (0,0) \right\} \right) \to \mathbb{R}$ は次のように定義される。 $$ \arctan 2 : \left( r \sin \theta , r \cos \theta \right) \mapsto \theta $$ $r > 0$ は任意の正数だ。
説明
アークタンジェント2は、機械工学などの分野でアークタンジェント $\arctan$だけでは不十分な情報を補うために使用される関数で、位置情報 $r \cos$, $r \sin$ を知っていてもタンジェント ${{ \sin } \over { \cos }}$ になり符号が消えてしまう問題を補完する。定義域でわかるように、$(0,0)$ ではまだ定義されていない。
$\arctan$ との違い
見ての通り、アークタンジェントは $(1,1)$ と $(-1,-1)$ を区別できないが、アークタンジェント2は区別できる。
コンベンション
$x = \cos$ であり、$y = \sin$ の時、C言語やマットラボでは $\theta = \arctan 2 (y,x)$ とするけれど、場合によっては $\theta = \arctan 2 (x,y)$ とも言う。サイン・コサインの順にするならば $\arctan 2 (\sin, \cos)$ が自然であり、x-y の順序で行くならば $\arctan 2 (x,y)$ が自然な差異であるから、その都度注意が必要だ。
このようなコンベンションの差からも分かるように、アークタンジェント2は数学的に何か大きな意味があるというよりは、実用性のためだけに2を付け加えるものだ。逆運動学でよく登場する以下の定理を紹介する。
定理
三角関数の線形組み合わせが与えられたときの角度
$$ a \cos \theta + b \sin \theta = c $$ 三角関数の線形組み合わせが$c \in \mathbb{R}$ のようであれば、角度$\theta$ は以下のようになる。 $$ \begin{align*} \cos \theta =& {{ ac \pm \sqrt{ b^{2} \left( a^{2} + b_{2} - c^{2} \right) } } \over { a^{2} + b^{2} }} \\ \sin \theta =& {{ b^{2} c \mp a \sqrt{ b^{2} \left( a^{2} + b^{2} - c^{2} \right) } } \over { b \left( a^{2} + b^{2} \right) }} \\ \theta =& \arctan2 \left( \sin \theta , \cos \theta \right) \end{align*} $$ 特に$c = 0$ の時は、より簡単な形で使用できる。 $$ \begin{align*} \cos \theta =& \pm \sqrt{ {{ b^{2} } \over { a^{2} + b^{2} }} } \\ \sin \theta =& \mp {{ a } \over { b }} \sqrt{ {{ b^{2} } \over { a^{2} + b^{2} }} } \\ \theta =& \arctan2 \left( \sin \theta , \cos \theta \right) \end{align*} $$
証明
戦略：根本的には解の公式を使用するだけ。
解の公式：二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ (ただし、$a\neq 0$)に対して $$ x=\dfrac{ -b\pm \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a} $$
$\sin \theta = \sqrt{ 1 - \cos^{2} \theta}$ であるため $$ \begin{align*} & a \cos \theta + b \sin \theta = c \\ \implies & a \cos \theta - c = - b \sin \theta \\ \implies & a^{2} \cos^{2} \theta - 2 ac \cos \theta + c^{2} = b^{2} \left( 1 - \cos^{2} \theta \right) \\ \implies & a^{2} \cos^{2} \theta - 2 ac \cos \theta + c^{2} = b^{2} \left( 1 - \cos^{2} \theta \right) \\ \implies & \left( a^{2} + b^{2} \right) \cos^{2} \theta - 2 ac \cos \theta + \left( c^{2} - b^{2} \right) = 0 \end{align*} $$ 一次項が2の倍数の時の解の公式に従って $$ \begin{align*} \cos \theta =& {{ ac \pm \sqrt{ a^{2} c^{2} - \left( a^{2} + b^{2} \right) \left( c^{2} - b^{2} \right) } } \over { a^{2} + b^{2} }} \\ =& {{ ac \pm \sqrt{ - b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} + b^{4} } } \over { a^{2} + b^{2} }} \end{align*} $$ 一方、$\sin \theta = {{ c - a \cos \theta } \over { b }}$ であるため $$ \begin{align*} \sin \theta =& {{ c - a \cos \theta } \over { b }} \\ =& {{ c - a {{ ac \pm \sqrt{ b^{2} \left( a^{2} + b_{2} - c^{2} \right) } } \over { a^{2} + b^{2} }}} \over { b }} \\ =& {{ c } \over { b }} - {{ a^{2} c \pm a \sqrt{ b^{2} \left( a^{2} + b_{2} - c^{2} \right) } } \over { b \left( a^{2} + b^{2} \right) }} \\ =& {{ c \left( a^{2} + b^{2} \right) } \over { b }} - {{ a^{2} c \pm a \sqrt{ b^{2} \left( a^{2} + b_{2} - c^{2} \right) } } \over { b \left( a^{2} + b^{2} \right) }} \\ =& - {{ b^{2} c \pm a \sqrt{ b^{2} \left( a^{2} + b_{2} - c^{2} \right) } } \over { b \left( a^{2} + b^{2} \right) }} \end{align*} $$ サインとコサインを知ったので、アークタンジェント2で求めていた $\theta = \arctan2 \left( \sin \theta , \cos \theta \right)$ を得る。
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