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調和平均 📂レンマ

調和平均

定義

正の数a,b>0a,b > 0に対して、次のものを調和平均harmonic meanという。 H(a,b):=2(1a+1b)−1=2aba+b H (a,b) := 2 \left( {{ 1 } \over { a }} + {{ 1 } \over { b }} \right)^{-1} = {{ 2 ab } \over { a + b }} nn項のx1,⋯ ,xnx_{1} , \cdots , x_{n}の一般化した形は、次のようである。 H(x1,⋯ ,xn):=n(∑k=1nxk−1)−1 H \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) := n \left( \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{-1} \right)^{-1}

定理

算術幾何調和平均の不等式

x1+x2+⋯+xnn≥x1x2⋯xnn≥n1x1+1x2+⋯+1xn \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+\cdots+{x}_{n} }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}\cdots{x}_{n} }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {x}_{1} }+\frac { 1 }{ {x}_{2} }+\cdots+\frac { 1 }{ {x}_{n} } }

平均速度

距離SSを速さaaで移動し、戻る時は速さbbで移動した場合、平均速度vvは、二つの速度の調和平均として表される。 v=2aba+b v = \frac { 2ab }{ a+b }

調和平均の上限と下限

a,b>0a,b > 0の調和平均は、aaとbbの間の値を持つ。max⁡\maxとmin⁡\minは最大値と最小値を意味する。 min⁡(a,b)≤H(a,b)≤max⁡(a,b) \min (a,b) \le H (a,b) \le \max (a,b)

説明

なぜ「調和」と呼ぶのか？

ほとんどの韓国人は高校で初めて調和平均に接するが、その奇妙な式と試験勉強においてさえ珍しいため、すぐに興味を失うことが多い。何よりも受け入れがたいのは、そのネーミングである。平均の概念は理解しやすいが、いったいなぜ逆数の和に2を掛けた2(1a+1b)2 \left( {{ 1 } \over { a }} + {{ 1 } \over { b }} \right)を調和平均と呼ぶのかは直感で想像するのが難しい。

基本的に数学では1a\displaystyle {{ 1 } \over { a }}のように逆数を取ることに調和harmonicという言葉を付けることが一般的で、調和級数∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {{ 1 } \over { n }}などがその例である。では、「なぜそういうものに調和という言葉が付くのか」という疑問が生じるだろう。

以下の説明は、以前に読んだことがあるような内容だが、今さらきちんとした文献を探すのが面倒なので、ただ記憶を頼りに書いている。あまり真剣に受け取らずに、信じるも信じないも自由だと思うが、それほど正確である必要性を感じない。

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…遠い昔、ピタゴラスが無理数の存在を受け入れられなかった時代、ピタゴラス学派は世界のすべてのものを数学で説明でき、すべての数は有理数だと信じていたようだ。当時、弦楽器を見ると、弦を弾いて音が出るが、特にいくつかの弦は同時に音を出したときに聞こえが良いという事実自体は広く知られていた。しかし、これは楽器のサイズにかかわらず、該当する弦間の長さの比率が合っていればどこでも再現できる現象で、比率はすなわち分数―で表されるものであり、その比率を一番熱心に研究したのが当時の数学者たちだったのである。中学校に行けば「三角形の相似」ということを学ぶが、私たちは「比例式」というものを立ててその問題を解いてきた。

一方、複数の弦を弾いて出ることができる組み合わせの中で、「聞こえが良い音」を「よく調和する音」という意味の和音和音とし、ギリシャ人はギリシャ神話で調和の女神ハルモニアharmoniaに由来するハーモニーharmonyと呼んだ。ここまでの説明が納得できるならば、分数形、逆数などになぜ調和という言葉が付くのか、ある程度理解できるだろう。

次の難しい見た目の式は、フーリエ級数と呼ばれるもので、さらにフーリエ変換のようなものを研究する分野を調和解析harmonic analysisと呼ぶ。 lim⁡N→∞SNf(t)=lim⁡N→∞[a02+∑n=1N(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL)]=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL) \begin{align*} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) &= \lim \limits_{N \to \infty}\left[ \dfrac{a_0}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right] \\ &= \dfrac{a_0}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \end{align*} コサインとサインの中にある分数のnπL\displaystyle {{ n \pi } \over { L }}は一般的に周波数frequencyと呼ばれるが、これはピタゴラス学派から続く数学の歴史の痕跡と見ることができるだろうか?

幾何学的な意味

HarmonicMean4.gif XY‾=2AE‾⋅BF‾AE‾+BF‾ \overline{XY} = {{ 2 \overline{AE} \cdot \overline{BF} } \over { \overline{AE} + \overline{BF} }} 実際にはもう少し調べてみるといくつか例があるが1、数学的にはその事実自体を超えてどのような価値があるのかはよくわからない。正直、上の図でさえ、著者の視点では調和平均の幾何学的な意味を説明したというよりも調和平均がどのように応用されるかを幾何学적に説明したものに近い。

証明

調和平均の上限と下限

戦略：H(a,b)H(a,b)がどのように計算されても、「平均」という言葉が付いているので、自然とaaとbbの間にはあるだろうが、名前が与える直感に頼らずにmin⁡(a,b)≤H(a,b)\min (a,b) \le H(a,b)の場合だけ直接証明してみる。背理法を使うこと。

a=ba=bであれば、その調和平均は自明に2ab/(a+b)=a=b=min⁡(a,b)2ab / (a+b) = a = b = \min (a,b)であるので、a≠ba \ne bの場合だけ考えよう。一般性を失わずにa<ba < bとすると、min⁡(a,b)=a\min \left( a,b \right) = aであり、H(a,b)<min⁡(a,b)H(a,b) < \min \left( a,b \right)と仮定する。すると、 H(a,b)<min⁡(a,b)  ⟹  2aba+b<a  ⟹  2b<a+b  ⟹  b<a \begin{align*} & H(a,b) < \min \left( a,b \right) \\ \implies & {{ 2ab } \over { a+b }} < a \\ \implies & 2b < a + b \\ \implies & b < a \end{align*} これはa<ba < bと矛盾するため、H(a,b)≥min⁡(a,b)H(a,b) \ge \min \left( a,b \right)でなければならない。

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  1. https://www.cut-the-knot.org/triangle/HarmonicMean.shtml ↩︎