logo

多変量正規分布の条件付き平均と分散 📂確率分布論

多変量正規分布の条件付き平均と分散

数式

二変量正規分布

(X,Y)N2([μ1μn],[σX2ρσXσYρσXσYσY2]) \left( X, Y \right) \sim N_{2} \left( \begin{bmatrix} \mu_{1} \\ \mu_{n} \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} \sigma_{X}^{2} & \rho \sigma_{X} \sigma_{Y} \\ \rho \sigma_{X} \sigma_{Y} & \sigma_{Y}^{2} \end{bmatrix} \right)

ランダムベクトル (X,Y)\left( X,Y \right) が上記のように二変量正規分布に従う場合、XYX | Y一変量正規分布に従い、条件付き平均と分散は以下のとおりである。 E(XY)=μX+ρσXσY(YμY)Var(XY)=(1ρ2)σX2 \begin{align*} E \left( X | Y \right) =& \mu_{X} + \rho {{ \sigma_{X} } \over { \sigma_{Y} }} \left( Y - \mu_{Y} \right) \\ \Var \left( X | Y \right) =& \left( 1 - \rho^{2} \right) \sigma_{X}^{2} \end{align*}

多変量正規分布 1

X=[X1X2]:ΩRnμ=[μ1μ2]RnΣ=[Σ11Σ12Σ21Σ22]Rn×n \begin{align*} \mathbf{X} =& \begin{bmatrix} \mathbf{X}_{1} \\ \mathbf{X}_{2} \end{bmatrix} & : \Omega \to \mathbb{R}^{n} \\ \mu =& \begin{bmatrix} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{bmatrix} & \in \mathbb{R}^{n} \\ \Sigma =& \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix} & \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{align*} 上記のように ジョーダンブロック形式で表されたX\mathbf{X}μ\muΣ\Sigma に従う 多変量正規分布ランダムベクトル XNn(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right) が与えられるとする。すると、条件付き確率ベクトル X1X2:ΩRm\mathbf{X}_{1} | \mathbf{X}_{2} : \Omega \to \mathbb{R}^{m} も引き続き多変量正規分布に従い、具体的には次のような 平均ベクトルと共分散行列を持つ。 X1X2Nm(μ1+Σ12Σ221(X2μ2),Σ11Σ12Σ221Σ21) \mathbf{X}_{1} | \mathbf{X}_{2} \sim N_{m} \left( \mu_{1} + \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \left( \mathbf{X}_{2} - \mu_{2} \right) , \Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21} \right)

導出

簡単で複雑で特別な導出

行列代数に慣れていない子供たちは、二変量正規分布も難しいだろう。次の導出プロセスは、高校を卒業した人でも追うことができるレベルで簡単だが、展開自体は複雑で、二変量正規分布の平均と分散に止まる。

f(x,y)=12πσXσY1ρ2exp[12(1ρ2)[(xμXσX)2+(yμYσY)22ρ(xμX)(yμY)σXσY]] f(x,y) = {{ 1 } \over { 2 \pi \sigma_{X} \sigma_{Y} \sqrt{1 - \rho^{2}} }} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 \left( 1 - \rho^{2} \right) }} \left[ \left( {{ x - \mu_{X} } \over { \sigma_{X} }} \right)^{2} + \left( {{ y - \mu_{Y} } \over { \sigma_{Y} }} \right)^{2}- 2 \rho {{ \left( x - \mu_{X} \right) \left( y - \mu_{Y} \right) } \over { \sigma_{X} \sigma_{Y} }} \right] \right] 二変量正規分布の確率密度関数は、次のとおりである。

f(xy)=f(x,y)fY(y)=12πσXσY1ρ2e[12(1ρ2)[(xμXσX)2+(yμYσY)22ρ(xμX)(yμY)σXσY]]12πσYe[12(yμYσY)2]=12πσX1ρ2e[12(1ρ2)[(xμXσX)2+(yμYσY)22ρ(xμX)(yμY)σXσY]]e[1ρ22(1ρ2)(yμYσY)2]=12πσX1ρ2exp[12(1ρ2)[(xμXσX)2+ρ2(yμYσY)22ρ(xμX)(yμY)σXσY]]=12πσX1ρ2exp[12(1ρ2)[(xμXσX)ρ(yμYσY)]2]=12πσX1ρ2exp[12σX2(1ρ2)[xμXρσX(yμYσY)]2]=12πσX1ρ2exp[12σX2(1ρ2)[xμXρσXσY(yμY)]2] \begin{align*} & f \left( x | y \right) \\ =& {{ f \left( x , y \right) } \over { f_{Y}(y) }} \\ =& {{ {{ 1 } \over { 2 \pi \sigma_{X} \sigma_{Y} \sqrt{1 - \rho^{2}} }} e^{\left[ - {{ 1 } \over { 2 \left( 1 - \rho^{2} \right) }} \left[ \left( {{ x - \mu_{X} } \over { \sigma_{X} }} \right)^{2} + \left( {{ y - \mu_{Y} } \over { \sigma_{Y} }} \right)^{2}- 2 \rho {{ \left( x - \mu_{X} \right) \left( y - \mu_{Y} \right) } \over { \sigma_{X} \sigma_{Y} }} \right] \right]} } \over { {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} \sigma_{Y} }} e^{ \left[ - {{ 1 } \over { 2 }} \left( {{ y - \mu_{Y} } \over { \sigma_{Y} }} \right)^{2} \right] } }} \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} \sigma_{X} \sqrt{1 - \rho^{2}} }} {{ e^{\left[ - {{ 1 } \over { 2 \left( 1 - \rho^{2} \right) }} \left[ \left( {{ x - \mu_{X} } \over { \sigma_{X} }} \right)^{2} + \left( {{ y - \mu_{Y} } \over { \sigma_{Y} }} \right)^{2}- 2 \rho {{ \left( x - \mu_{X} \right) \left( y - \mu_{Y} \right) } \over { \sigma_{X} \sigma_{Y} }} \right] \right]} } \over { e^{\left[ - {{ 1 - \rho^{2} } \over { 2 \left( 1 - \rho^{2} \right) }} \left( {{ y - \mu_{Y} } \over { \sigma_{Y} }} \right)^{2} \right]} }} \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} \sigma_{X} \sqrt{1 - \rho^{2}} }} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 \left( 1 - \rho^{2} \right) }} \left[ \left( {{ x - \mu_{X} } \over { \sigma_{X} }} \right)^{2} + \rho^{2} \left( {{ y - \mu_{Y} } \over { \sigma_{Y} }} \right)^{2}- 2 \rho {{ \left( x - \mu_{X} \right) \left( y - \mu_{Y} \right) } \over { \sigma_{X} \sigma_{Y} }} \right] \right] \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} \sigma_{X} \sqrt{1 - \rho^{2}} }} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 \left( 1 - \rho^{2} \right) }} \left[ \left( {{ x - \mu_{X} } \over { \sigma_{X} }} \right) - \rho \left( {{ y - \mu_{Y} } \over { \sigma_{Y} }} \right) \right]^{2} \right] \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} \sigma_{X} \sqrt{1 - \rho^{2}} }} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 \sigma_{X}^{2} \left( 1 - \rho^{2} \right) }} \left[ x - \mu_{X} - \rho \sigma_{X} \left( {{ y - \mu_{Y} } \over { \sigma_{Y} }} \right) \right]^{2} \right] \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} \sigma_{X} \sqrt{1 - \rho^{2}} }} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 \sigma_{X}^{2} \left( 1 - \rho^{2} \right) }} \left[ x - \mu_{X} - \rho {{ \sigma_{X} } \over { \sigma_{Y} }} \left( y - \mu_{Y} \right) \right]^{2} \right] \end{align*}

これは平均が μX+ρσXσY(YμY)\mu_{X} + \rho {{ \sigma_{X} } \over { \sigma_{Y} }} \left( Y - \mu_{Y} \right) で分散が (1ρ2)σX2\left( 1 - \rho^{2} \right) \sigma_{X}^{2}一変量正規分布確率密度関数と同じである。

難しくて単純で一般的な導出

W:=X1Σ12Σ221X2\mathbf{W} := \mathbf{X}_{1} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \mathbf{X}_{2} であり、p:=(mn)Np := (m - n) \in \mathbb{N} とする。その場合、単位行列 IkRk×kI_{k} \in \mathbb{R}^{k \times k}ゼロ行列 ORp×mO \in \mathbb{R}^{p \times m} について、次のように表すことができる。 [WX2]=[ImΣ12Σ221OIp][X1X2] \begin{bmatrix} \mathbf{W} \\ \mathbf{X}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{m} & - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \\ O & I_{p} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{X}_{1} \\ \mathbf{X}_{2} \end{bmatrix}

線形変換の正規性: 行列 ARm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}ベクトル bRm\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m} に対して、多変量正規分布に従う ランダムベクトル XNn(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right)線形変換 Y=AX+b\mathbf{Y} = A \mathbf{X} + \mathbf{b} も依然として多変量正規分布 Nm(Aμ+b,AΣAT)N_{m} \left( A \mu + \mathbf{b} , A \Sigma A^{T} \right) に従う。

W\mathbf{W} は多変量正規分布の線形変換であるため、平均ベクトル EW=μ1Σ12Σ221μ2 E \mathbf{W} = \mu_{1} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \mu_{2} A=Σ12Σ221A = \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} に対して、次のような 共分散行列を持つ。 CovX=AΣAT=[ImΣ12Σ221OIp][Σ11Σ12Σ21Σ22][ImOTΣ221Σ21Ip]=[Σ11Σ12Σ221Σ21OTOΣ22]    CovW=Σ11Σ12Σ221Σ21 \begin{align*} \operatorname{Cov} \mathbf{X} =& A \Sigma A^{T} \\ =& \begin{bmatrix} I_{m} & - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \\ O & I_{p} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_{m} & O^{T} \\ - \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21} & I_{p} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21} & O^{T} \\ O & \Sigma_{22} \end{bmatrix} \\ \implies \operatorname{Cov} \mathbf{W} =& \Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21} \end{align*} ここで、ATA^{T}AA転置である。

独立とゼロ共分散の同値性: 多変量正規分布に従う (X1,X2)Nn(μ,Σ)\left( \mathbf{X}_{1} , \mathbf{X}_{2} \right) \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right) が与えられているとする。 X1X2    Σ12=Σ21=O \mathbf{X}_{1} \perp \mathbf{X}_{2} \iff \Sigma_{12} = \Sigma_{21} = O

X\mathbf{X} が多変量正規分布に従うため、ゼロ共分散 Cov(W,X2)=O\operatorname{Cov} \left( \mathbf{W} , \mathbf{X}_{2} \right) = OW\mathbf{W}X2\mathbf{X}_{2} が独立であることを保証する。したがって、WX2\mathbf{W} | \mathbf{X}_{2} は条件なしの W\mathbf{W} そのものであり、 WX2Nm(μ1Σ12Σ221μ2,Σ11Σ12Σ221Σ21) \mathbf{W} | \mathbf{X}_{2} \sim N_{m} \left( \mu_{1} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \mu_{2} , \Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21} \right) のように表すことができる。初めに W\mathbf{W}X1=W+Σ12Σ221X2\mathbf{X}_{1} = \mathbf{W} + \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \mathbf{X}_{2} を満たすように定義されたので、逆変換で戻すと次を得る。 X1X2Nm(μ1+Σ12Σ221(X2μ2),Σ11Σ12Σ221Σ21) \mathbf{X}_{1} | \mathbf{X}_{2} \sim N_{m} \left( \mu_{1} + \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \left( \mathbf{X}_{2} - \mu_{2} \right) , \Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21} \right)


  1. Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition): p185. ↩︎