📂確率分布論

非中心F分布

定義

単一非中心F分布 ¹

自由度 $r_{1} , r_{2} > 0$ と非中心性^{non-centrality} $\lambda_{1} \ge 0$ によって定義される連続確率分布 $F \left( r_{1} , r_{2} , \lambda_{1} \right)$ の確率密度関数を持つ。この分布を単一非中心F分布と呼ぶ。

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} {{ e^{ - \lambda / 2 } \left( \lambda / 2 \right)^{k} } \over { B \left( {{ r_{2} } \over { 2 }} , {{ r_{1} } \over { 2 }} + k \right) k ! }} \left( {{ r_{1} } \over { r_{2} }} \right)^{{{ r_{1} } \over { 2 }} + k} \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} x + r_{2} }} \right) ^{{{ r_{1} + r_{2} } \over { 2 }} + k} x^{{{ r_{1} } \over { 2 }} - 1 + k} \qquad , x \ge 0 $$

二重非中心F分布 ²

自由度 $r_{1} , r_{2} > 0$ と非中心性^{non-centrality} $\lambda_{1}, \lambda_{2} \ge 0$ によって定義される連続確率分布 $F \left( r_{1} , r_{2} , \lambda_{1}, \lambda_{2} \right)$ の確率密度関数を持つ。この分布を二重非中心F分布と呼ぶ。

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{l=0}^{\infty} {{ n_{1}^{k + {{ r_{1} } \over { 2 }}} n_{2}^{l + {{ r_{2} } \over { 2 }}} x^{k + {{ n_{1} } \over { 2 }} - 1 } \lambda_{1}^{k} \lambda_{2}^{l} } \over { 2^{k+l} k!! e^{{{ \lambda_{1} + \lambda_{2} } \over { 2 }}} B \left( k + {{ 1 } \over { 2 }} r_{1} , l + {{ 1 } \over { 2 }} r_{2} \right) }} \qquad , x \ge 0 $$

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• $B$ はベータ関数だ。
• $k!!$ は$k$ のダブルファクトリアルだ。

説明

非中心F分布は、F分布の一般化であり、単一形式では分子のみ、二重形式では分子と分母両方が非中心カイ二乗分布に従う。非中心性という用語は、非中心カイ二乗分布の直感的な導出から、正規分布に従う確率変数の平均が $0$ でないことに由来している。

非中心カイ二乗分布からの導出

$X$ が非中心カイ二乗分布 $\chi^{2} \left( r_{1} , \lambda_{1} \right)$に従い、$Y$ がカイ二乗分布 $\chi^{2} \left( r_{2} \right)$に従うとする。すると、 $$ {{ X / r_{1} } \over { Y / r_{2} }} $$ は単一非中心F分布に従う。ここで$Y \sim \chi^{2} \left( r_{2} , \lambda_{2} \right)$ であれば、この確率変数は二重非中心F分布に従う。つまり、分子のみが非中心カイ二乗分布に従う場合は単一、分子と分母の両方が従う場合は二重である。

参照

F分布

非中心カイ二乗分布