📂確率分布論

非中心カイ二乗分布

定義

自由度 $r > 0$ と 非中心性^{non-centrality} $\lambda \ge 0$ に関して、次の確率密度関数を持つ 連続確率分布 $\chi^{2} \left( r , \lambda \right)$ を 非中心カイ二乗分布^{noncentral chi-squared distribution}と呼ぶ。 $$f(x) = {{ 1 } \over { 2 }} e^{- \left( x + \lambda \right) / 2 } \left( {{ x } \over { \lambda }} \right)^{k/4 - 1/2} I_{r/2 - 1} \left( \sqrt{\lambda x} \right) \qquad, x \in (0,\infty)$$

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• $I_{\nu}$ は、$\nu$次 変形第一種ベッセル関数 であり、方向統計学に変形第一種ベッセル関数が現れる理由とは関係なく偶然に式に現れるものである¹。

説明

名前から分かるように、非中心カイ二乗分布は カイ二乗分布の一般化で、独立な 確率変数 $$X_{k} \sim N \left( \mu_{k} , 1^{2} \right) \qquad , k = 1 , \cdots , r$$ が 正規分布に従い $\lambda = \sum_{k=1}^{r} \mu_{k}^{2}$ とした場合、$Y$ のような意味をもつ。 $$Y = \sum_{k=1}^{r} X_{k}^{2} \sim \chi^{2} \left( r , \lambda \right)$$ つまり、$\lambda \ne 0$ はカイ二乗分布そのものではなく、二乗され合計される 正規分布の中心が $0$ でないということを意味している。

参考

カイ二乗分布

非中心F分布