📂確率分布論

フォン・ミーゼス・フィッシャー分布

定義 ¹

ユニークモード^{unique mode} $\mu \in S^{p-1}$ と 集中^{concentration} $\kappa > 0$ を有する確率密度関数で定義される多変量分布 $\text{vMF}_{p} \left( \mu , \kappa \right)$ を フォン・ミーゼス・フィッシャー分布^{von Mises-Fisher distribution}と言う。 $$f \left( \mathbf{x} \right) = \left( {{ \kappa } \over { 2 }} \right)^{p/2-1} {{ 1 } \over { \Gamma \left( p/2 \right) I_{p/2-1} \left( \kappa \right) }} \exp \left( \kappa \mu^{T} \mathbf{x} \right) \qquad , \mathbf{x} \in S^{p-1}$$

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• $S^{p-1} \subset \mathbb{R}^{p}$ はユニットスフィアだ。
• $\mu ^{T}$ はベクトル $\mu$ にトランスポーズを施した物だ。
• $\Gamma$ はガンマ関数だ。
• $I_{\nu}$ は$\nu$次の第一種変形ベッセル関数であり、このような複雑な関数が用いられる理由は第一種変形ベッセル関数が方向統計学に登場する理由のポストを参照せよ。

説明

特に$p=2$ の時フォン・ミーゼス分布と呼ばれ、$p=3$ の時フィッシャー分布^{fisher distribution}と言う。フォン・ミーゼス分布が円上での正規分布であったように、フィッシャー分布は球面上での多変量正規分布であり、$p > 3$ への一般化は幾何学的に想像するのが難しいが、依然として似た意味を持つ。

方向統計学で正規分布と言えば、自然とフォン・ミーゼス・フィッシャー分布を最初に思い浮かべれば良い。つまり$p=3$ のフィッシャー分布は、球面上での正規分布であるため、特に地球などの惑星単位の研究でその用途を簡単に思い浮かべられる。