📂行列代数

固有値と固有ベクトル

定義

正方行列 $A_{n \times n} = (a_{ij})$ が与えられているとする。

1. $A$ の $i$ 番目の行と $j$ 番目の行を除いた 行列の行列式 $M_{ij}$ を 小行列式^minorという。
2. $C_{ij} := (-1)^{i + j} M_{ij}$ を 余因子^cofactorという。
3. 余因子の行列 $C = \left( C_{ij} \right)$ の転置行列 $C^{T}$ を 古典補助行列^{classical Adjugate matrix}と呼び、$\text{adj} (A)$ と表す。

説明

余因子が使われる最も広く知られた結果は、間違いなくラプラス展開だ。AdjugateにAdj-がついていることから推測できるように、過去にはこれを単に補助行列^{adjoint matrix}と呼んでいたらしいが、現代では共役転置行列を補助行列と呼ぶことが多いため、それと区別するために 古典補助行列^{classical Adjoint matrix}と呼ぶようだ。

性質

単位行列 $I$ と 行列式 $\det$ について、以下が成り立つ。 $$A \text{adj} (A) = \det (A) I$$ 特に $A$ が 可逆行列であれば、古典補助行列を以下のように表すことができる。 $$\text{adj} (A) = \det (A) A^{-1}$$