固有値と固有ベクトル
📂行列代数固有値と固有ベクトル
定義
正方行列 An×n=(aij) が与えられているとする。
- A の i 番目の行と j 番目の行を除いた 行列の行列式 Mij を 小行列式minorという。
- Cij:=(−1)i+jMij を 余因子cofactorという。
- 余因子の行列 C=(Cij) の転置行列 CT を 古典補助行列classical Adjugate matrixと呼び、adj(A) と表す。
説明
余因子が使われる最も広く知られた結果は、間違いなくラプラス展開だ。AdjugateにAdj-がついていることから推測できるように、過去にはこれを単に補助行列adjoint matrixと呼んでいたらしいが、現代では共役転置行列を補助行列と呼ぶことが多いため、それと区別するために 古典補助行列classical Adjoint matrixと呼ぶようだ。
性質
単位行列 I と 行列式 det について、以下が成り立つ。
Aadj(A)=det(A)I
特に A が 可逆行列であれば、古典補助行列を以下のように表すことができる。
adj(A)=det(A)A−1