📂確率論

確率論におけるレヴィの連続性定理

定理 ¹

可測空間 $\left( \mathbb{R}^{d} , \mathcal{B} \left( \mathbb{R}^{d} \right) \right)$ が与えられているとする。$n \in \overline{\mathbb{N}}$ に対して 確率測度を $\mu_{n}$ とし、それに対応する 特性関数を $\varphi_{n}$ と表す。次のは同値である。

• (a): $\mu_{n}$ が $\mu_{\infty}$ に弱収束する。
• (b): すべての $t \in \mathbb{R}^{d}$ に対して $$\lim_{n \to \infty} \varphi_{n} (t) = \varphi_{\infty} (t)$$

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• $\overline{\mathbb{N}} = \mathbb{N} \cup \left\{ \infty \right\}$ は 自然数と無限大を含む 集合である。

証明

難しい上に、先に証明される必要がある補題が多すぎるため、とりあえず省略して将来の課題とする²。

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