行列式の補助定理の証明
概要
可逆行列は$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$及び$\mathbf{u} , \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$に対して下記が成り立つ。 $$ \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \det A $$ 特に古典随伴行列$\text{adj} (A) = A^{-1} \det A$に対しては、次のように表現できる。 $$ \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \det A + \mathbf{v}^{T} \text{adj} (A) \mathbf{u} $$
- $\mathbf{u}^{T}$は$\mathbf{u}$の転置行列を意味する。
証明 1
戦略：行列式の性質により直接帰納する。特に言及されない限り、行列の次元に応じてブロック行列が基本的に使用される。
行列式の性質: $A,B$を$n\times n$行列、$k$を定数とする。行列式は以下の性質を満たす。
- (b) $\det(AB) = \det(A)\det(B)$
- (c) $\det(AB)=\det(BA)$
ブロック行列の性質: $A = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix}$をブロック行列とする。その行列式について、以下が成立する。 $$ \det A = \det A_{1} \det A_{3} $$
単位行列$I \in \mathbb{R}^{n \times n}$及び零ベクトル$\mathbf{0} \in \mathbb{R}^{T}$及び$\mathbf{w} := A^{-1} \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$について、以下が成立する。 $$ \begin{align*} & \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{v}^{T} + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} + 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} I & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \end{bmatrix} \end{align*} $$
三角行列の行列式は対角成分の積なので、$\det$を適用すると行列式の性質(b)とブロック行列の性質により、 $$ \begin{align*} 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} =& \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \end{bmatrix} \\ =& \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& 1 \cdot \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \cdot 1 \\ =& \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} \end{bmatrix} \cdot \det \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \\ =& \det \left( I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} \right) \end{align*} $$ を得る。両辺に$\det A$を乗じると、行列式の性質(b)及び(c)により以下を得る。 $$ \begin{align*} & & \left( 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \right) \cdot \det A =& \det A \cdot \det \left( I + A^{-1} \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) \\ \implies & & \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \det A =& \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) \end{align*} $$
古典随伴行列の性質: 特に$A$が可逆行列の場合、古典随伴行列は次のように表現できる。 $$ \text{adj} (A) = \det (A) A^{-1} $$
最後に、古典随伴行列の性質に従い、以下を得る。 $$ \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \det A + \mathbf{v}^{T} \text{adj} (A) \mathbf{u} $$
■
この補題は主にシャーマン-モリソン公式の導出で言及される。