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行列式の補助定理の証明 📂行列代数

行列式の補助定理の証明

概要

可逆行列はA∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n}及びu,v∈Rn\mathbf{u} , \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}に対して下記が成り立つ。 det⁡(A+uvT)=(1+vTA−1u)det⁡A \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \det A 特に古典随伴行列adj(A)=A−1det⁡A\text{adj} (A) = A^{-1} \det Aに対しては、次のように表現できる。 det⁡(A+uvT)=det⁡A+vTadj(A)u \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \det A + \mathbf{v}^{T} \text{adj} (A) \mathbf{u}

  • uT\mathbf{u}^{T}はu\mathbf{u}の転置行列を意味する。

証明 1

戦略：行列式の性質により直接帰納する。特に言及されない限り、行列の次元に応じてブロック行列が基本的に使用される。

行列式の性質: A,BA,Bをn×nn\times n行列、kkを定数とする。行列式は以下の性質を満たす。

  • (b) det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)\det(AB) = \det(A)\det(B)
  • (c) det⁡(AB)=det⁡(BA)\det(AB)=\det(BA)

ブロック行列の性質: A=[A1A2OA3]A = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix}をブロック行列とする。その行列式について、以下が成立する。 det⁡A=det⁡A1det⁡A3 \det A = \det A_{1} \det A_{3}

単位行列I∈Rn×nI \in \mathbb{R}^{n \times n}及び零ベクトル0∈RT\mathbf{0} \in \mathbb{R}^{T}及びw:=A−1u∈Rn\mathbf{w} := A^{-1} \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n}について、以下が成立する。 [I0vT1][I+wvTw0T1][I0−vT1]=[I+wvTwvT+vTwvTvTw+1][I0−vT1]=[Iw0T1+vTw] \begin{align*} & \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{v}^{T} + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} + 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} I & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \end{bmatrix} \end{align*}

三角行列の行列式は対角成分の積なので、det⁡\detを適用すると行列式の性質(b)とブロック行列の性質により、 1+vTw=det⁡[Iw0T1+vTw]=det⁡[I0vT1]det⁡[I+wvTw0T1]det⁡[I0−vT1]=1⋅det⁡[I+wvTw0T1]⋅1=det⁡[I+wvT]⋅det⁡[1]=det⁡(I+wvT) \begin{align*} 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} =& \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \end{bmatrix} \\ =& \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& 1 \cdot \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \cdot 1 \\ =& \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} \end{bmatrix} \cdot \det \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \\ =& \det \left( I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} \right) \end{align*} を得る。両辺にdet⁡A\det Aを乗じると、行列式の性質(b)及び(c)により以下を得る。 (1+vTw)⋅det⁡A=det⁡A⋅det⁡(I+A−1uvT)  ⟹  (1+vTA−1u)det⁡A=det⁡(A+uvT) \begin{align*} & & \left( 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \right) \cdot \det A =& \det A \cdot \det \left( I + A^{-1} \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) \\ \implies & & \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \det A =& \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) \end{align*}

古典随伴行列の性質: 特にAAが可逆行列の場合、古典随伴行列は次のように表現できる。 adj(A)=det⁡(A)A−1 \text{adj} (A) = \det (A) A^{-1}

最後に、古典随伴行列の性質に従い、以下を得る。 det⁡(A+uvT)=det⁡A+vTadj(A)u \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \det A + \mathbf{v}^{T} \text{adj} (A) \mathbf{u}

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この補題は主にシャーマン-モリソン公式の導出で言及される。

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemma ↩︎