複素平面における実数軸の非開集合性
定理
$$ \mathbb{R}^{\circ} \ne \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $$
実数軸$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$は、複素平面$\mathbb{C}$でオープンではない。
説明
したがって、実数軸は複素空間で複素領域ではない。$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ がオープンという点を考えると、直感と異なる結果となるかもしれない。これは、集合の開閉はそもそも与えられた位相空間によって変わる相対的な概念であるためである。
この事実が重要なのは、実際に実数関数で定義できるにも関わらず、複素関数の性質が変わるほとんどの理由を説明できるからである。複素解析の多くの定理は複素領域、つまり開かれた複素部分集合$\mathscr{R} \subset \mathbb{C}$を条件として要求する。オープンという制約がなければ$\mathscr{R} = \mathbb{R}$と仮定でき、放置すると多くの問題を引き起こす。
以下の証明は、$\mathbb{R}$が単に「複素空間の部分集合である理由だけでは、真の複素領域にはなりえない」という事実を示唆し、「当然$\mathbb{R}$は複素空間と見なすことはできない」という直感を厳密に正当化する。
証明
複素解析でのオープンの定義：$\alpha \in \mathbb{C}$であり、$\delta > 0$であり、$S \subset \mathbb{C}$とする。
- 次のような集合を$\alpha$のオープンネイバーフッドまたはオープンボールと呼ぶ。 $$ B \left( \alpha ; \delta \right) := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \alpha \right| < \delta \right\} $$
- $\alpha$のどんなオープンボールも$S$に含まれる場合、$\alpha$は$S$の内点と呼ばれる。 $$ \exist \delta : B \left( \alpha , \delta \right) \subset S $$
- $S$の全ての点が$S$の内点である場合、$S$はオープンと言い、$S$が$S$の全ての集積点を含む場合はクローズドと言う。
$\mathbb{R}$内の一点でも$\mathbb{R}$の内点でないことを示せば十分である。一般性を失わず、その点を$\alpha = 0$とすれば、そのオープンボール$B (0, \delta)$は、どのような半径$\delta > 0$を選んでも、具体的には $$ z_{0} = 0 + i {{ \delta } \over { 2 }} $$ 程度は、必ず非実数の複素数$z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$を含む。言い換えると、$0 \in \mathbb{R}$は$\mathbb{R}$の内点ではなく、$\mathbb{C}$で$\mathbb{R}$の全ての点が$\mathbb{R}$の内点ではないため、$\mathbb{R}$は$\mathbb{C}$でオープンではない。
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一般化
曲線 $\gamma \subset \mathbb{C}^{n}$は、多次元複素空間$\mathbb{C}^{n}$でオープンではない。
証明過程での議論から、$\mathbb{R}^{1}$でない限りは、基本的に細いカーブ上のどの点を取っても周囲の点を含むため、実数軸と複素平面でなくても定理が成り立つことが分かる。