📂レンマ

円周率の定義

定義

幾何学的な定義

1. 平面で与えられた一点から距離$r > 0$だけ離れた点の集合を円^circleと定義する。
2. 円の周$l$と直径$2r$の比を円周率$\pi$と定義する。 $$ \pi := {{ l } \over { 2r }} $$

解析学的定義 ¹

$$ E (z) := \sum_{k=0}^{\infty} {{ z^{k} } \over { k! }} $$ 複素関数$E : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$を上記のように指数関数の級数展開として定義し、それによりコサイン関数に類似した次の関数$C$を定義しよう。 $$ C(x) := {{ E (ix) + E(-ix) } \over { 2 }} $$ $C(x)$の根、すなわち$C(x) = 0$を満たす解の中で最も小さい正数を$x_{0}$とするとき、その倍数を円周率$\pi$と定義する。 $$ \pi := 2 x_{0} $$

説明

このポストでは、幾何学的な（簡単な）定義と解析学的な（難しい）定義を紹介したが、大学3年生以上の数学の学生なら、解析学的な定義を見て微笑むことができるだろう。

人類の歴史において、円周率は非常に重要な定数として、遅くとも車輪が発明された時点で、その具体的な値が実用的に使用されるようになった。特に、効率的で精密な近似値としては $$ {{ 22 } \over { 7 }} = 3.142857 \cdots \approx \pi $$ といった数値も知られていた。この値は、いわゆるゆとり教育時代^{ゆとり世代}の20世紀末の日本の教育水準をはるかに超えるほど正確であった。（教育をゆったりと行うという名目で円周率を$3$と教えていた時期だった） ²

関連項目

• 円周率が無理数であることの証明