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永続ホモロジーグループの定義

ビルドアップ

オリエンテッド^oriented$k$-シンプレックス $K$ から得たフリーグループ$\mathsf{C}_{k}$において、$\partial_{k} \circ \partial_{k+1} = 0$を満たす境界作用素$\partial_{k} : \mathsf{C}_{k} \to \mathsf{C}_{k-1}$はチェインコンプレックスを形成する。サイクルグループ^{cycle group}$\mathsf{Z}_{k} := \ker \partial_{k}$、バウンダリーグループ^{boundary group}$\mathsf{B}_{k} := \operatorname{Im} \partial_{k+1}$の商群で定義される次のものを$k$番目のホモロジーグループと呼ぶ。 $$ \mathsf{H}_{k} := \mathsf{Z}_{k} / \mathsf{B}_{k} $$ 一方で$K$が次のようなフィルトレーションを持つフィルタードコンプレックスだとする。 $$ K^{0} \subset \cdots \subset K^{i-1} \subset K^{i} \subset \cdots \subset K^{i+p} \subset K^{i+p+1} \subset \cdots \subset K $$ それにより、$K^{i}$はすべて単体複体であるため、それぞれのインデックス$i$ごとに対応する境界作用素$\partial_{k}^{i}$と$\mathsf{C}_{k}^{i}, \mathsf{Z}_{k}^{i}, \mathsf{B}_{k}^{i}$を考えることができる。

定義¹

次のグループを$K^{i}$の$k$番目の$p$-パーシステントホモロジーグループ^{$p$-パーシステント$k$番目ホモロジーグループof$K^{i}$}と呼ぶ。 $$ \mathsf{H}_{k}^{i,p} := \mathsf{Z}_{k}^{i} / \left( \mathsf{B}_{k}^{i+p} \cap \mathsf{Z}_{k}^{i} \right) $$ $\mathsf{H}_{k}^{i,p}$のランク$\beta_{k}^{i,p}$を$K^{i}$の$k$番目の$p$-パーシステントベッティ数と呼ぶ。

説明

$p = 0$であれば$\mathsf{B}_{k}^{i+0} \cap \mathsf{Z}_{k}^{i} = \mathsf{B}_{k}^{i}$となり、元のホモロジーグループの定義に合致する。

数多くの添え字に頭が混乱しそうだが、重要なのは$p$-パーシステントということが与える概念的意味だけだ。 $$ \cdots \subset K^{i} \subset \cdots \subset K^{i+p} \subset \cdots $$ 実際にフィルトレーションを見れば、$K^{i}$から$K^{i+p}$の間にも単体複体が存在するが、$p$-パーシステントホモロジーグループの定義はそれらについて全く言及していない。逆に言えば、その中間部分は興味がないとみなされ、$i$から$i+p$まで同じものと見なされるから、定義に含めないということになる。これを「$K^{i}$は$K^{i+p}$まで代数的に変化がない」と解釈すれば、今度は$p$-パーシステント^{$p$-パーシステント}という表現が直感的に納得できるはずだ。