📂位相データ分析

複素体のフィルトレーション

定義 ¹

$K$を単体複体とする。部分集合$L \subset K$も単体複体であれば、$K$の部分複体という。 $$\emptyset = K^{0} \subset K^{1} \subset \cdots \subset K^{m} = K$$ $K$の部分複体からなるネステッドシークエンスを$K$のフィルトレーションという。一般的に、全ての$i \ge m$に対して、$K^{i} = K^{m}$とする。このようなフィルトレーションが存在する場合、$K$をフィルタード複体と呼ぶ。

説明

アセンディングチェーン

上記のフィルタード複体のサブ複体は、$m = 0,\cdots,5$に関して、アセンディングチェーンに類似した構造を示している。 $$K^{0} \subset K^{1} \subset K^{2} \subset K^{3} \subset K^{4} \subset K^{5}$$ フィルターという表現は、最大の単体がネットにかかっていく（←左方向へ）と、徐々に小さくなるイメージを思い浮かべさせるが、数学では必ずしも縮小する方向だけを想像する必要はない。

トポロジカルデータ分析

ヴィートリス＝リップス複体やチェック複体のような複体は、与えられた半径$\varepsilon > 0$によって決まり、この$\varepsilon$を少しずつ増加させて得られる複体を列挙すると、それがフィルタード複体となる。このようなフィルタード複体内で、トポロジカルな性質が現れたり消えたりする永続性を調べ、データの特徴を分析するのが、トポロジカルデータ分析の1つのアプローチである。

参照

様々なフィルトレーション

$$A_{1} \subset A_{2} \subset \cdots \subset A_{n} \subset \cdots$$ 数学全般において、構造がネステッドシークエンスを形成する場合、それをフィルトレーションと呼ぶ。

• 確率過程のフィルトレーション
• 複体のフィルトレーション
• ベクトル空間のフラグ