📂抽象代数

等級モジュールの定義

ビルドアップ

記号上 $n,m,i \in \mathbb{Z}$ としよう。

グレード環

リンク $\left( R , + , \cdot \right)$ がアーベル群 $R$ の直和 $\left( R , \otimes \right) \simeq \bigoplus_{i} R_{i}$ に装着された グレード環^{graded ring}とは、$R_{i}$ の間の乗算 $\otimes$ が $$ R_{n} \otimes R_{m} \to R_{n+m} $$ と定義されることを意味する。直和の各部分である $R_{i}$ の要素は 同種の^homogeneousと呼ばれ、次数^degree $i$ を持つ。この定義によると、すべての $e \in R_{i}$ の次数は $\deg e = i$ だ。例えば、$Z = \mathbb{Z}$ について$Z [t]$ のような多項式環を考えると、$Z_{n} = \mathbb{Z} t^{n}$ であり $2 t^{6} \in Z_{6}$ は$Z_{6}$ で同種であり次数が $6$ で、$7 t^{3} \in Z_{3}$ は$Z_{3}$ で同種であり次数が $3$ だ。しかし、これらの合計 $2 t^{6} + 7 t^{3} \in Z[t]$ は同種ではなく、その積 $$ 2 t^{6} \otimes 7 t^{3} = \left( 2 \cdot 7 \right) \left( t^{6} \cdot t^{3} \right) = 14 t^{9} \in Z_{6+3} $$ は$Z_{9}$ で同種であり次数は $9$ だ。例示のように、$n \ge 0$ の場合は 標準グレード^{standard Grading}を持つと言い、表現が難しいが、多項式環を扱ったことのある人ならそれほど違和感なく受け入れられることを確認できるだろう。最も慣れないのはおそらく$\otimes$ という表現であり、このためにグレードという表現が使われた。もっと難しく抽象的な例を考えることもできるが、まずはグレードモジュールの定義に進もう。

定義 ¹

$R$-モジュール $M$ が直和 $M \simeq \bigoplus_{i} M_{i}$ に装着された グレードモジュール^{graded Module}とは、$M$ 上で$R$ の作用 $\otimes$ が以下のように定義されることを意味する。 $$ R_{n} \otimes M_{m} \to M_{n+m} $$

説明

定義から何かぼんやりしても、結局のところ グレードモジュールとはグレード環に似ているがモジュールであり、特に多項式環内で必要な特性を有することがわかる。特にベースリング$R$ が PID(主イデアル領域) $D$ の時、有限生成アーベル群の基本定理に似たその構造を特徴づける次の定理が知られている。

グレードモジュールの構造: PID $D$ 上のすべてのグレードモジュール$M$ は以下の形で一意に分解される。 $$ \left( \bigoplus_{i=1}^{n} \sum^{\alpha_{i}} D \right) \oplus \left( \bigoplus_{j=1}^{m} \sum^{\gamma_{j}} D / d_{j} D \right) $$ ここで、$d_{j} \in D$ は$d_{j} \mid d_{j+1}$ を満たし、$\alpha_{i} , \gamma_{j} \in \mathbb{Z}$ であり、$\sum^{\alpha}$ は$\alpha$ だけグレードが上がることを示す。左側をフリー部分、右側をトーショナル部分と呼ぶ。