📂位相データ分析

トーラスの基本群は二つの整数群の積と同型である

定理 ¹

$$ \pi_{1} \left( T^{2} \right) \simeq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $$ トーラス $T^{2}$の基本群は$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$だ。

証明

誘導されたホモモルフィズムの性質:

• [2]: もし$\varphi : X \to Y$がホメオモルフィズムなら、$\varphi_{\ast} : \pi_{1} \left( X, x \right) \to \pi_{1} \left( Y, \varphi (x) \right)$はアイソモルフィズムだ。

積空間の基本群: $$ \pi_{1} \left( X \times Y \right) \simeq \pi_{1} \left( X \right) \times \pi_{1} \left( Y \right) $$

単位円の基本群: $$ \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right) \simeq \mathbb{Z} $$

トーラス $T^{2}$ は$S^{1} \times S^{1}$とホメオモルフィックで、単位円$S^{1}$の基本群は$\mathbb{Z}$とアイソモルフィックなので、次を得る。 $$ \begin{align*} \pi_{1} \left( T^{2} \right) \simeq & \pi_{1} \left( S^{1} \times S^{1} \right) \\ \simeq & \pi_{1} \left( S^{1} \right) \times \pi_{1} \left( S^{1} \right) \\ \simeq & \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{align*} $$

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