📂位相データ分析

ホモトピー型

定義 ¹

二つの位相空間 $X, Y$に対して、以下を満たす連続関数 $f : X \to Y$、$g: Y \to X$が存在する場合、$X, Y$は同じホモトピー型^{homotopy Type}を持つと言い、$X, Y$または$f, g$をホモトピー同値^{homotopy Equivalence}とも言う。 $$\begin{align*} g \circ f \simeq& \text{id}_{X} \\ f \circ g \simeq& \text{id}_{Y} \end{align*}$$ ここで、$\text{id}_{\cdot}$は恒等関数であり、$f \simeq g$は$f,g$がホモトピックであることを意味する。

説明

同じホモトピー型を持つこと、つまりホモトピー同値を考慮する理由は、明らかに位相同型から少し後退して、緩和された「同じさ」を話すためである。これを目的にあきらめたことは、定義において$f$と$g$が互いに逆関数であるという条件で、反対側の空間に行って戻ってきた時、元の点であれば十分である。