球殻の慣性モーメント
公式
半径が$a$、質量が$m$の球殻の慣性モーメントは以下のようになる。
$$ I=\frac{2}{3}ma^{2} $$
導出
半径が$a$で質量が$m$の均一な球殻を考えてみよう。球の慣性モーメントを求める時と同じアイデアを使う。しかし、少し違いがある。球の慣性モーメントを計算する時のように、多数の円筒殻の合計として球殻を考えよう。
でもここで球の場合と同じように計算すると問題が生じる。球の場合、小さな円盤の体積を積分すると球の体積が出る。
$$ \begin{align*} \int \nolimits _{-r} ^{r} \pi \left( r^{2} -z^{2} \right) dz &= \int \nolimits _{-r} ^{r} \pi r^{2} dz - \int \nolimits _{-r} ^{r} \pi z^{2}dz \\ &= \pi r^{2} \left[ z \right]_{-r}^{r} - \pi \left[ \frac{1}{3} z^{3} \right] _{-r} ^{r} \\ &= 2 \pi r^{3} - \dfrac{2}{3}\pi r^{3} \\ &= \dfrac{3}{4} \pi r^{3} \end{align*} $$
しかし、小さな円盤の表面積の和の極限が球の表面積と同じではない。問題はまさにここで生じる。実際に以下の計算でこれを確認できる。
$$ \int _{-r} ^{r} 2\pi x dz = \int _{-r} ^{r} 2\pi \sqrt{ r^{2}-z^{2}} dz $$
この時$z \equiv r \sin \theta$に置き換えると
$$ \int _{-r} ^{r} \implies \int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \quad \And \quad dz=r \sin \theta d\theta $$
$$ \begin{align*} \int_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} 2 \pi \sqrt{r^{2}-r^{2}\sin^{2} \theta} r \cos\theta d\theta &= 2\pi r \int_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^{2}} \sqrt{1-\sin^{2}\theta} \cos\theta d\theta \\ &= 2 \pi r^{2} \int \nolimits _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} d\theta \\ &= \pi r^{2} \int \nolimits _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2\theta) d\theta \\ &= \pi r^{2} \left[ \theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \pi r^{2} (\pi )=\pi^{2} r^{2} < 4 \pi r^{2} \end{align*} $$
なので球の表面積に足りない。だから、球の表面積を円盤の表面積の和で近似することはできない。
次に、小さな円筒の表面積を少し異なる方法で近似してみよう。円筒の高さを上面と下面の垂直距離ではなく、側面の距離として置いて解こう。このように置いて積分すると、円筒の表面積が出る。興味があれば、自分でやってみて。
質量が一様に$m$で、半径が$r$の円筒殻の慣性モーメントは$I=mr^{2}$なので、球殻の慣性モーメントは以下のようになる。
$$ I_{\text{sphere shell}}=\int dl=\int x^{2}dm $$
上の図から得られた$dm$の値を代入すると、以下を得る。
$$ \int x^{2} \rho 2 \pi \color{blue}{ x a d \theta} $$
この時、$\theta$による積分を$z$による積分に変えるために、以下の関係式を使って青色部分を上手く変えると以下のようになる。
$$ z=a\sin\theta \implies dz=a\cos\theta d\theta,\quad x=a\cos\theta $$
わざわざ$z$について積分する理由は$\theta$について積分するよりも簡単だからだ。
$$ \begin{align*} \int ( a^{2}-z^{2})\rho 2 \pi \color{blue}{a \cos\theta ad\theta} &= \rho 2 \pi a \int \nolimits _ {-a} ^{a} ( a^{2}-z^{2})dz \\ &= \rho 2 \pi a \left[ a^{2}z-\frac{1}{3}z^{3} \right]_{-a}^{a} \\ &= \rho 2 \pi a (2a^{3}-\frac{2}{3}a^{3}) \\ &= \rho \dfrac{8}{3} \pi a^4 \end{align*} $$
そして、球殻の質量が$m=\rho 4 \pi a^{2}$で$\rho = \dfrac{m}{4\pi a^{2}}$なので、以下を得る。
$$ I_{z}=\rho \dfrac{8}{3} \pi a^4=\dfrac{m}{4\pi a^{2}} \dfrac{8}{3} \pi a^4 = \dfrac{2}{3}ma^{2} $$
球と同じように、球殻もまたすべての方向から対称なので、以下が真だ。
$$ I_{x}=I_{y}=I_{z}=\dfrac{2}{3}ma^{2} $$
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