モノドロミー定理の証明
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整理

1-スフィア S1 において、点 1:=(1,0) を起点とし、同値である二つのパス f0≃f1 が存在するとしよう。それぞれのリフトが f0,f1 が f0(0)=f1(0) を満たす場合、f0(1)=f1(1) である。
説明
1=(1,0)
厳密に言うと、1=(1,0) は区別されなければならないが、便宜上、単位円 S1 から 1 であると単に言えば、(1,0) 以外に言及することはない。実際、平面上に広がる垂直線を想像すれば、それほど遠くない記号である。
R∋1=(1,0)∈R2
モノドロミー?
定理のステートメント自体が言っていることは、ホモトピックなパスのリフトは、起点が同じであれば終点も同じだということだけである。ただ、それが何を意味するのかは不明瞭である。

まず、ここで紹介されている モノドロミー定理 が X=S1 に限定されていることに注目しよう。定理の条件では、リフトの起点が 0 のとき、その終点が同じであるとしており、X=R 内の螺旋で終点が同じであるということは、f0(0)=f1(0) を基準として 何回転 したかが正確に同じであることを意味する。これにより、S1 の基本群 π1(S1,1) が整数群 Z と同型であることを示す際に重要な補助定理として使用される。
一方で、何回転したかという結論を導き出すために、モノドロミーという表現が登場する。リフトの終点は連続的だが、回転した回数は整数であるため、特異性が見えてくるが、モノドロミーがどのような意味か気にすることなく、これをモノドロミーと呼ぶのだと受け入れれば良い。
証明
ホモトピー・リフティング定理: 連続関数 F:I2→S1 にはリフト F:I2→R が存在する。特に、与えられた x0∈S1 と x0∈p−1(x0) に対し、F(0,0)=x0 である Fは一意に存在する。
f0 と f1 のホモトピーを F とする。仮定とホモトピー・リフティング定理により、F(0,0)=f0(0)=f1(0) であるリフト F:I2→R が一意に存在し、ホモトピックである F(t,s) の定義により
F(t,0)=F(t,1)=f0(t)f1(t)⟹F(t,0)=F(t,1)=f0(t)f1(t)
であり、F(1,t)=f0(1)=f1(1) であるため、F(1,t) は f0(1) から f1(1) までのパスである。しかし、
F(1,t)∈p−1(f0(1))≃Z
したがって、連続関数F(1,t)、つまりパス F(1,t)は定数関数であるしかない。結果、f0(1)=f1(1)である。
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