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モノドロミー定理の証明 📂位相データ分析

モノドロミー定理の証明

整理 1

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11-スフィア S1S^{1} において、点 1:=(1,0)1 := (1,0) を起点とし、同値である二つのパス f0f1f_{0} \simeq f_{1} が存在するとしよう。それぞれのリフトf~0,f~1\widetilde{f}_{0}, \widetilde{f}_{1}f~0(0)=f~1(0)\widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{f}_{1} (0) を満たす場合、f~0(1)=f~1(1)\widetilde{f}_{0} (1) = \widetilde{f}_{1} (1) である。

説明

1=(1,0)1 = (1,0)

厳密に言うと、1=(1,0)1 = (1,0) は区別されなければならないが、便宜上、単位円 S1S^{1} から 11 であると単に言えば、(1,0)(1,0) 以外に言及することはない。実際、平面上に広がる垂直線を想像すれば、それほど遠くない記号である。 R1=(1,0)R2 \mathbb{R} \ni 1 = (1,0) \in \mathbb{R}^{2}

モノドロミー?

定理のステートメント自体が言っていることは、ホモトピックなパスのリフトは、起点が同じであれば終点も同じだということだけである。ただ、それが何を意味するのかは不明瞭である。

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まず、ここで紹介されている モノドロミー定理X=S1X = S^{1} に限定されていることに注目しよう。定理の条件では、リフトの起点が 00 のとき、その終点が同じであるとしており、X~=R\widetilde{X} = \mathbb{R} 内の螺旋で終点が同じであるということは、f~0(0)=f~1(0)\widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{f}_{1} (0) を基準として 何回転 したかが正確に同じであることを意味する。これにより、S1S^{1}基本群 π1(S1,1)\pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right) が整数群 Z\mathbb{Z}同型であることを示す際に重要な補助定理として使用される。

一方で、何回転したかという結論を導き出すために、モノドロミーという表現が登場する。リフトの終点は連続的だが、回転した回数は整数であるため、特異性が見えてくるが、モノドロミーがどのような意味か気にすることなく、これをモノドロミーと呼ぶのだと受け入れれば良い。

証明

ホモトピー・リフティング定理: 連続関数 F:I2S1F : I^{2} \to S^{1} にはリフト F~:I2R\widetilde{F} : I^{2} \to \mathbb{R} が存在する。特に、与えられた x0S1x_{0} \in S^{1}x~0p1(x0)\widetilde{x}_{0} \in p^{-1} \left( x_{0} \right) に対し、F~(0,0)=x~0\widetilde{F} \left( 0 , 0 \right) = \widetilde{x}_{0} である F~\widetilde{F}は一意に存在する。

f0f_{0}f1f_{1}ホモトピーFF とする。仮定とホモトピー・リフティング定理により、F~(0,0)=f~0(0)=f~1(0)\widetilde{F} (0,0) = \widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{f}_{1} (0) であるリフト F~:I2R\widetilde{F} : I^{2} \to \mathbb{R} が一意に存在し、ホモトピックである F(t,s)F(t,s) の定義により F(t,0)=f0(t)F(t,1)=f1(t)    F~(t,0)=f~0(t)F~(t,1)=f~1(t) \begin{align*} F (t,0) =& f_{0} (t) \\ F (t,1) =& f_{1} (t) \end{align*} \implies \begin{align*} \widetilde{F} (t,0) =& \widetilde{f}_{0} (t) \\ \widetilde{F} (t,1) =& \widetilde{f}_{1} (t) \end{align*} であり、F(1,t)=f0(1)=f1(1)F(1,t) = f_{0}(1) = f_{1}(1) であるため、F~(1,t)\widetilde{F} (1,t)f~0(1)\widetilde{f}_{0} (1) から f~1(1)\widetilde{f}_{1} (1) までのパスである。しかし、 F~(1,t)p1(f0(1))Z \widetilde{F} (1,t) \in p^{-1} \left( f_{0} (1) \right) \simeq \mathbb{Z} したがって、連続関数F~(1,t)\widetilde{F} (1,t)、つまりパス F~(1,t)\widetilde{F} (1,t)定数関数であるしかない。結果、f~0(1)=f~1(1)\widetilde{f}_{0} (1) = \widetilde{f}_{1} (1)である。


  1. Kosniowski. (1980). A First Course in Algebraic Topology: p139. ↩︎