ホモトピー類
定理
簡単な説明
どんな位相空間でも、2つの固定された点の間で定義されたホモトピーの関係は同値関係だ。
詳しい説明
位相空間 と2つの点 が与えられたとする。2点間のパスがホモトピックであれば、のように表すとき、この二項関係は同値関係である。また、この同値関係 によって作られる同値類 はとして表される。
説明
一見すると、この定理は空間 で与えられた点 があるとき、そのすべてのパスが2つの点だけで表されるかのように誤解されるかもしれない。しかし、それはすべてのパスに対するホモトピーが存在する場合の話で、簡単な例としてトーラスを考えると、空間の真ん中に穴があいていて、「すべてのパス」においてホモトピーが存在するわけではないことがわかる。
幸いにも、一般的なユークリッド空間 では成立し、さらに一般的には凸なベクトル空間であれば、上記のパラグラフでの推測が当てはまると考えられる。
証明 1
が反射的reflexiveであり、対称的symmetricであり、推移的transitiveであることを示せば良い。反射性は間にという定数ホモトピーが存在するので自明である。対称性もがとの間に存在し、がと間のホモトピーとして存在するので自明である。推移性はもう少し難しい。パスに対応する二変数連続関数が であり、パスに対応する二変数連続関数が としたとき、中間のパスに対応する二変数連続関数を と定義すると、すぐにとの場合、を可能にするホモトピーが存在することが直接確認できる。図式で表すと、下図のようにから定義された2つの関数の定義域を半分にしてつなげた形になる。
この証明で提出されたが関数として適切に定義されているかwell-defined、本当に連続であるかについての議論はここでは省略する。
■
Hatcher. (2002). Algebraic Topology: p26. ↩︎