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ホモトピー類 📂位相データ分析

ホモトピー類

定理

簡単な説明

どんな位相空間でも、2つの固定された点の間で定義されたホモトピーの関係は同値関係だ。

詳しい説明

位相空間 XX と2つの点 x0,x1Xx_{0}, x_{1} \in X が与えられたとする。2点間のパスf,g:IXf, g : I \to Xホモトピックであれば、fgf \simeq gのように表すとき、この二項関係\simeq同値関係である。また、この同値関係 \simeqによって作られる同値類 {g:fg}\left\{ g : f \simeq g \right\}[f][f]として表される。

説明

一見すると、この定理は空間 XXで与えられた点 x0,x1x_{0}, x_{1}があるとき、そのすべてのパスが2つの点だけで表されるかのように誤解されるかもしれない。しかし、それはすべてのパスに対するホモトピーが存在する場合の話で、簡単な例としてトーラスを考えると、空間の真ん中に穴があいていて、「すべてのパス」においてホモトピーが存在するわけではないことがわかる。

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幸いにも、一般的なユークリッド空間 Rp\mathbb{R}^{p}では成立し、さらに一般的にはベクトル空間であれば、上記のパラグラフでの推測が当てはまると考えられる。

証明 1

\simeqが反射的reflexiveであり、対称的symmetricであり、推移的transitiveであることを示せば良い。反射性fff \simeq f間に{ht=f}\left\{ h_{t} = f \right\}という定数ホモトピーが存在するので自明である。対称性hth_{t}ffggの間に存在し、{h1t}\left\{ h_{1-t} \right\}ggff間のホモトピーとして存在するので自明である。推移性はもう少し難しい。パスf:IXf : I \to Xに対応する二変数連続関数ffF:I×IX F : I \times I \to X であり、パスg:IXg : I \to Xに対応する二変数連続関数GGG:I×IX G : I \times I \to X としたとき、中間のパスhhに対応する二変数連続関数を H(s,t)={F(s,2t),if t[0,1/2]G(s,2t1),if t[1/2,1] H (s,t) = \begin{cases} F \left( s, 2t \right) & , \text{if } t \in [0,1/2] \\ G \left( s, 2t - 1 \right) & , \text{if } t \in [1/2,1] \end{cases} と定義すると、すぐにfhf \simeq hhgh \simeq gの場合、fgf \simeq gを可能にするホモトピーが存在することが直接確認できる。図式で表すと、下図のようにI2I^{2}から定義された2つの関数の定義域を半分にしてつなげた形になる。

20220315_092834.png

この証明で提出されたhth_{t}が関数として適切に定義されているかwell-defined、本当に連続であるかについての議論はここでは省略する。


  1. Hatcher. (2002). Algebraic Topology: p26. ↩︎