📂位相データ分析

ホモトピー類

定理

簡単な説明

どんな位相空間でも、2つの固定された点の間で定義されたホモトピーの関係は同値関係だ。

詳しい説明

位相空間 $X$ と2つの点 $x_{0}, x_{1} \in X$ が与えられたとする。2点間のパス$f, g : I \to X$がホモトピックであれば、$f \simeq g$のように表すとき、この二項関係$\simeq$は同値関係である。また、この同値関係 $\simeq$によって作られる同値類 $\left\{ g : f \simeq g \right\}$は$[f]$として表される。

説明

一見すると、この定理は空間 $X$で与えられた点 $x_{0}, x_{1}$があるとき、そのすべてのパスが2つの点だけで表されるかのように誤解されるかもしれない。しかし、それはすべてのパスに対するホモトピーが存在する場合の話で、簡単な例としてトーラスを考えると、空間の真ん中に穴があいていて、「すべてのパス」においてホモトピーが存在するわけではないことがわかる。

幸いにも、一般的なユークリッド空間 $\mathbb{R}^{p}$では成立し、さらに一般的には凸なベクトル空間であれば、上記のパラグラフでの推測が当てはまると考えられる。

証明 ¹

$\simeq$が反射的^reflexiveであり、対称的^symmetricであり、推移的^transitiveであることを示せば良い。反射性は$f \simeq f$間に$\left\{ h_{t} = f \right\}$という定数ホモトピーが存在するので自明である。対称性も$h_{t}$が$f$と$g$の間に存在し、$\left\{ h_{1-t} \right\}$が$g$と$f$間のホモトピーとして存在するので自明である。推移性はもう少し難しい。パス$f : I \to X$に対応する二変数連続関数$f$が $$ F : I \times I \to X $$ であり、パス$g : I \to X$に対応する二変数連続関数$G$が $$ G : I \times I \to X $$ としたとき、中間のパス$h$に対応する二変数連続関数を $$ H (s,t) = \begin{cases} F \left( s, 2t \right) & , \text{if } t \in [0,1/2] \\ G \left( s, 2t - 1 \right) & , \text{if } t \in [1/2,1] \end{cases} $$ と定義すると、すぐに$f \simeq h$と$h \simeq g$の場合、$f \simeq g$を可能にするホモトピーが存在することが直接確認できる。図式で表すと、下図のように$I^{2}$から定義された2つの関数の定義域を半分にしてつなげた形になる。

この証明で提出された$h_{t}$が関数として適切に定義されているか^well-defined、本当に連続であるかについての議論はここでは省略する。

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