代数的トポロジーにおけるオイラー指標
定義 1
シンプレックス $\Delta$ が与えられているとする。$\Delta$ の頂点の数を$n$、エッジの数を$m$、フェイスの数を$f$ としたとき、$\Delta$ のオイラー指標euler Characteristic $\chi$ は以下のように定義される。 $$ \chi := n - m + f $$
定理
位相空間 $X$に対して、単体複体 $K$ から作られる単体的ホモロジー群が与えられたとき、オイラー指標は以下のように一般化され、計算される。
オイラー・ポアンカレの定理euler-Poincaré theorem
ホモロジー群の $p$番目のベッチ数 $\beta_{p}$ の交代和を$X$ のオイラー指標と呼ぶ。 $$ \chi = \sum_{p \ge 0} \left( -1 \right)^{p} \beta_{p} $$ したがって、オイラー指標はトポロジカル・インバリアント(位相的不変量)である。2
オイラー・ポアンカレ公式euler-Poincaré formula
スミス標準形である境界行列 $\partial_{p}$ と $\partial_{p-1}$が与えられたとき、$\partial_{p}$のゼロ列の数 $z_{p}$ と $\partial_{p-1}$ の対角成分の中で$1$ の数 $b_{p-1}$ に対して以下のように求めることができる。 $$ \begin{align*} \chi =& \sum_{p \ge 0} \left( -1 \right)^{p} \left( z_{p} + b_{p-1} \right) \\ =& \sum_{p \ge 0} \left( -1 \right)^{p} \left( z_{p} - b_{p} \right) \end{align*} $$
導出
オイラー・ポアンカレの定理の詳細な証明は省略する。[Munkres2] を参照のこと。
ホモロジー群の効率的な計算可能性：$H_{p} \left( \mathcal{C} \right)$ のベッチ数を$\mathcal{C}$ の$p$番目のベッチ数betti numberと呼ぶ。有限複体 $K$ の$\beta_{p}$ は以下の通りである。 $$ \beta_{p} = \rank Z_{p} - \rank B_{p} $$
ホモロジー群のベッチ数は、スミス標準形の境界行列を通じて効率的に計算することができるため、オイラー・ポアンカレの定理からオイラー・ポアンカレの公式を導く。
説明
位相空間のオイラー指標は、キャラクタリスティックという表現からわかるように、位相的に変化しない、つまり位相空間の本質とつながっている数である。これは一般に知られている位相数学のコンセプトを見たとき、かなり説得力があり、直感的な説明であるが、例えば立方体でも球でも、粘土のようにこねて互いに作り変えることができる―ホメオモルフであれば$\chi$ は同じである。
- 立方体は$8$ 個の頂点、$12$ 個のエッジ、$6$ 個のフェイスを持つため $$\chi = 8 - 12 + 6 = 2$$
- 球体は赤道を作るために始点と終点が同じリングが1つ必要で、$1$ 個の頂点、$1$ 個のエッジを持ち、その赤道を基準に北半球と南半球を持つため$2$ 個のフェイスを持つ。 $$\chi = 1 - 1 + 2 = 2$$
ベッチ数との関係
オイラー・ポアンカレの定理により、シンプレックスで定義されたオイラー指標の概念は一般的な位相空間に拡張され、オイラー・ポアンカレ公式により具体的に計算することができる。
オイラー指標がベッチ数の交代和として表されるという事実は、そのもの自体が興味深い文であり、ベッチ数はオイラー指標だけでは把握できない位相空間の特性を説明し、同時にオイラー指標の直感的な理解をカバーするためである。ある意味で、オイラー指標は各$p$次元のベッチ数に分解されたもので、学者たちは当然ながらオイラー指数が同じであってもベッチ数が異なる場合の現象に関心を持つ。
グラフ理論でのオイラー標数
もともとオイラー標数はグラフ理論で最も有名で、オイラーの多面体定理またはオイラー公式は、連結平面グラフに対して$\chi = 2$というグラフ理論の定理である。多面体がシンプレックスのように単純でなかったり、容易に想像できる凸多面体でない場合、この記事で紹介した一般化された定義が必要になる。
幾何学でのオイラー指標
ガウス・ボンネの定理の方程式を満たす整数として定義される。
代数的位相幾何学でのオイラー指標
各次元のベッチ数の交代和として定義される。