円盤と円筒の慣性モーメント
式
半径が$a$、質量が$m$の円盤の慣性モーメントは
回転軸が円盤に垂直な場合、$I=\dfrac{1}{2}ma^2$である。
回転軸が円盤と平行な場合、$I=\dfrac{1}{4}ma^2$である。
導出
回転軸が円盤の中心を通り、円盤に垂直な場合
$\rho$を単位面積あたりの質量とする。すると円盤の質量は$m=\rho \pi r^2$である。従って、以下のようになる。
$$ dm=\rho \pi 2r dr $$
慣性モーメントを求める式は$\displaystyle I=\int r^2dm$なので、以下が成り立つ。
$$ I=\int_{0}^a\rho \pi 2 r^3 dr=\rho \pi 2 \frac{1}{4}a^4=\frac{1}{2}\rho \pi a^4 $$
この時、$\displaystyle \rho=\frac{m}{\pi a^2}$なので
$$ I=\frac{1}{2}ma^2 $$
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回転軸が円盤の中心を通り、円盤に平行な場合
平行軸定理によれば、$I_{z}=I_{x}+I_{y}$であり、回転軸が$x$軸であろうと$y$軸であろうと同じ形であるため、$I_{x}=I_{y}$である。従って
$$ \begin{align*} && 2I_{x} &= I_{z}=\frac{1}{2}ma^2 \\ \implies && I_{x} &= \frac{1}{4}ma^2 \end{align*} $$
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