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シンプリシアルホモロジーグループの定義

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難しい内容ですが、できるだけ理解しやすいように、すべての計算と説明を省略せずに丁寧に残しました。ホモロジーに興味がある方は、ぜひお読みください。

実際に、私たちが興味を持っている位相空間 $X$ があり、これが特定のシンプリシャルコンプレックスに従って$\Delta$-コンプレックス構造を通して表現されるとしましょう。小さな例として、上の図では右側のトーラスが $X$ であり、左側がシンプリシャルコンプレックスに相当します。

シンプレックスの定義:

1. アフィン独立な $v_{0}, v_{1} , \cdots , v_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}$ の凸包を**$n$-シンプレックス** $\Delta^{n}$ と呼び、ベクトル $v_{k}$ を頂点と呼びます。数式的には以下のようになります。 $$ \Delta^{n} := \left\{ \sum_{k} t_{k} v_{k} : v_{k} \in \mathbb{R}^{n+1} , t_{k} \ge 0 , \sum_{k} t_{k} = 1 \right\} $$
2. $\Delta^{n}$ から一つの頂点が除かれて作られる $n-1$-シンプレックス $\Delta^{n-1}$ を $\Delta^{n}$ の面と呼びます。$\Delta^{n}$ のすべての面の和集合を $\Delta^{n}$ の境界と呼び、$\partial \Delta^{n}$ と表します。
3. シンプレックスの内部 $\left( \Delta^{n} \right)^{\circ} := \Delta^{n} \setminus \partial \Delta^{n}$ をオープンシンプレックスと呼びます。

ここで、シンプリシャルコンプレックスとはシンプレックスで構成されるコンプレックスで、具体的には以下のようなCWコンプレックスで構成されているとしましょう。

$n$-セルの定義:

1. 以下のように定義された $D^{n} \subset \mathbb{R}^{n}$ を $n$-ユニットディスクと呼びます。 $$ D^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} : \left\| \mathbf{x} \right\| \le 1 \right\} $$
2. $D^{n} \setminus \partial D^{n}$ とホモトピー同値な開集合 $e^{n}$ を $n$-セルとも呼びます。

CWコンプレックスの定義:

1. 離散的な集合 $X^{0} \ne \emptyset$ を**$0$-セル**とみなします。
2. $n$-スケルトン $X^{n}$ は $X^{n-1}$ に$n$-セル $e_{\alpha}^{n}$ を $\phi_{\alpha} : S^{n-1} \to X^{n-1}$ で結合することによって作られます。
3. $X := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} X^{n}$ が弱位相を持つ位相空間になるとき、$X$ をセルコンプレックスと呼びます。

定義 ¹

$\Delta$-コンプレックス構造を持つ位相空間 $X$ が与えられているとしましょう。

1. $X$ のオープン $n$-シンプレックスである$n$-セル $e_{\alpha}^{n}$ を基底を持つ自由アーベル群 $\Delta_{n} (X)$ と表しましょう。$\Delta_{n} (X)$ の要素を**$n$-チェインと呼び、係数 $k_{\alpha} \in \mathbb{Z}$ に対して以下のような形式的和で表します。 $$ \sum_{\alpha} k_{\alpha} e_{\alpha}^{n} $$ 一方、CWコンプレックスの定義から、各 $n$-セル $e_{\alpha}^{n}$ にはそれに対応する特性写像** $\sigma_{\alpha} : \Delta^{n} \to X$ が存在するため、単に次のように表すこともあります。 $$ \sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha} $$
2. 次のように定義される準同型 $\partial_{n} : \Delta_{n} (X) \to \Delta_{n-1} (X)$ を境界準同型と呼びます。ここで、$\sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} \cdots , v_{n} \right]$ は、$\sigma_{\alpha}$ の $X$ の $n-1$-シンプレックス

に対する制限関数であることを意味します。 $$ \partial _{n} \left( \sigma_{\alpha} \right) := \sum_{i=0}^{n} \left( -1 \right)^{i} \sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} \cdots , v_{n} \right] $$ 3. 商群 $\ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ を $H_{n}^{\Delta}$ と表し、$H_{n}^{\Delta}$ はホモロジーグループであるため、$X$ の第 $n$ シンプリシャルホモロジーグループと呼びます。

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• 群 $0$ は $\left\{ 0 \right\}$ で定義されたマグマです。つまり、空の代数構造です。
• 準同型 $\partial^{2} = 0$ はゼロ準同型です。
• $\operatorname{Im}$ は像です。
• $\ker$ はカーネルです。
• 集合でハット表記 $\hat{v}_{i}$ は、次のように $v_{i}$ だけを除くことを意味します。 $$ \left\{ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} \cdots , v_{n} \right\} := \left\{ v_{1} , \cdots , v_{n} \right\} \setminus \left\{ v_{i} \right\} $$

説明

定義に文字が多いので、理解する前に目に入りにくいのは普通です。血となり肉となる説明なので、丁寧に読むようにしましょう。個人的に勉強している間に苦労した部分をできるだけわかりやすく書くように努めました。

$\Delta_{n} (X)$ の要素をなぜチェーンと呼ぶのか？

$$ \sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha} $$ のような記法で $\sigma_{\alpha} : \Delta^{n} \to X$ を考えることで、これで $e_{\alpha}^{n}$ が $\Delta^{n}$ の要素なのか $X$ の要素なのかといったことはあまり考える必要がなくなりました。$n=2$ で全ての係数が $k_{\alpha} = 1$ の場合、幾何学的に想像できる例として、以下の図の右側のような図形 $\sum_{i=1}^{7} \sigma_{i}$ を考えてみましょう。

ここで鎖という表現が理解できれば幸いですが、そうでなくても実際にはあまり関係ありません。とにかく後で重要なのは、それぞれの $n$-チェイン $\Delta_{n} (X)$ でチェーンコンプレックスを構築することです。

$\Delta_{n} (X)$ は本当にグループなのか？

非常に重要ですが、定義でチェインを説明するときに、形式的和という表現を使いました。これは $\Delta_{n} (X)$ の要素を説明したに過ぎず、$\Delta_{n} (X)$ 上で定義された二項演算ではありません。形式的和という言葉が示すように、これはあくまで形式的なものです。小学校の時に使っていた記法を借りてくれば、

2😀 + 💎 - 3🍌

のように、とりあえずその位置を絵などで埋めたものと考えても問題ありません。上の式は数学的には意味がありません。なぜなら、笑顔 😀 の2倍が何であり、そこに宝石 💎 を加えることが何であり、バナナ 🍌 を3つ引くことが何なのか、定義されておらず、定義するのも困難だからです。これらを扱うのが難しい状況は、正確に $\sum_{\alpha} k_{\alpha} e_{\alpha} \simeq \sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha}$ で

• (そもそも加算を定義できない)オープンシンプレックス $e_{\alpha}^{n}$
• 対応する $\sigma_{\alpha}$ が関数である（関数そのものなのか関数値を指しているのかがわかりにくい）
• それを任意の整数倍して加算した $-3 e_{1}^{n} + 7 e_{2}^{n} \simeq -3 \sigma_{1} + 7 \sigma_{2}$ の意味がわからない

という問題と同じです。代数的構造どころか、この集合がどのように見えるのかすらわかりにくいですが、幸いにもこれらの問題は $\Delta_{n} (X)$ にとっては関係がありません。もし

$\sigma=$2😀 + 💎 - 3🍌

が $\Delta_{n} (X)$ の要素、つまり $n$-チェインであるとするならば、これらの要素の逆元は、すべての係数 $k_{\alpha} \in \left( \mathbb{Z} , + \right)$ の逆元 $-k_{\alpha} \in \left( \mathbb{Z} , + \right)$ を係数として持つ

$-\sigma=$ (-2)😀 + (-1)💎 + (-(-3))🍌

で定義するだけで十分です。これにより $\Delta_{n} (X)$ の単位元は、任意の $\sigma \in \Delta_{n} (X)$ に対して $0 := \sigma + (-\sigma)$ で定義され、$\mathbb{Z}$ がアーベル群であるため、$\Delta_{n} (X)$ もアーベル群になります。ここで、群 $\left( \Delta_{n} (X) , + \right)$ の演算 $+$ は $\left( \mathbb{Z} , + \right)$ の $+$ から導かれたものですが、同じものではありません。$n$-チェイン $\sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha} \in \Delta_{n} (X)$ で登場する $\sum$ とも異なります。

要約すると以下のようになります。

• 最初に定義したときの $\sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha}$ で加算のように見えるものは、そもそも演算ではなく記法に過ぎませんでした。
• $\left( \Delta_{n} (X) , + \right)$ の $+$ は $\left( \mathbb{Z} , + \right)$ の $+$ から導かれましたが、同じものではありません。
• $\left( \Delta_{n} (X) , + \right)$ は自由アーベル群であり、これで $\sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha}$ も二項演算 $+$ の関数値になります。

$\partial$ をなぜ境界と呼ぶのか？

$$ \partial _{n} \left( \sigma_{\alpha} \right) := \sum_{i=0}^{n} \left( -1 \right)^{i} \sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} \cdots , v_{n} \right] $$

定義にある数式だけを見ても理解しにくいですが、以下の図を見ればすぐに理解できるでしょう。

例えば $\partial_{2}$ を考えると、次のような計算を行うことができます。 $$ \begin{align*} & \partial _{2} \left[ v_{0} ,v_{1}, v_{2} \right] \\ =& \sum_{i=0}^{2} (-1)^{i} \left[ v_{0} ,v_{1}, v_{2} \right] \setminus \left[ v_{i} \right] \\ =& (-1)^{0} \left[ v_{1}, v_{2} \right] + (-1)^{1} \left[ v_{0}, v_{2} \right] + (-1)^{2} \left[ v_{0}, v_{1} \right] \\ =& \left[ v_{1}, v_{2} \right] - \left[ v_{0}, v_{2} \right] + \left[ v_{0}, v_{1} \right] \end{align*} $$

ホモロジーグループを学ぶレベルなら、三角形 $\left[ v_{0} ,v_{1}, v_{2} \right]$ の境界が $\left[ v_{1}, v_{2} \right], \left[ v_{0}, v_{2} \right], \left[ v_{0} , v_{1} \right]$ で構成されること自体を受け入れられない人はほとんどいないでしょう。本当に理解しにくいのは、一体 $\left[ v_{1}, v_{2} \right] - \left[ v_{0}, v_{2} \right]$ が何なのかということです。1-シンプレックスである線分同士を引くことが意味を成すのでしょうか？それをベクトルとして扱い、2-シンプレックスである三角形同士の演算はどうなるのでしょうか？

すべて間違っています。しっかりと頭を整理してもう一度見てみましょう。$\partial_{2} \left[ v_{0} ,v_{1}, v_{2} \right] \in \Delta_{1} (X)$ は、その幾何学的な意味を離れて、単に3つの要素 $\left[ v_{1}, v_{2} \right], \left[ v_{0}, v_{2} \right], \left[ v_{0} , v_{1} \right]$ の形式的和である $$ (+1) \left[ v_{1}, v_{2} \right] + (-1) \left[ v_{0}, v_{2} \right] + (+1) \left[ v_{0}, v_{1} \right] $$

に過ぎません。これを順番に $$ \begin{align*} a := \left[ v_{1}, v_{2} \right] \ b:= \left[ v_{0}, v_{2} \right] \ c:= \left[ v_{0} , v_{1} \right] \end{align*} $$ と置くと、$\Delta_{1} (X)$ の正体がようやく見えてきます。例えば、$1$-チェイン $x \in \Delta_{1} (X)$ は、ある係数 $k_{a} , k_{b} , k_{c} \in \mathbb{Z}$ に対して $$ x = k_{a} a + k_{b} b + k_{c} c $$ のように表される要素です。逆に $a,b,c$ の立場から自由群 $\Delta_{1} (X) := F[\left\{ a,b,c \right\}]$ を構築する過程を考えると、$\Delta_{1} (X)$ とは、3つの未知数で作られる群、つまり $\mathbb{Z}^{3} \simeq \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ と同型な群に過ぎないことがわかります。

このような考え方の転換は、続く例を理解する上で必須です。幾何を置いて、代数的に考えましょう。

例

$$ \begin{align*} \\ \partial_{n} :& \Delta_{n} (X) \to \Delta_{n-1} (X) \\ H_{n}^{\Delta} (X) =& \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1} \end{align*} $$

特に $n = 0$ の場合、$\partial_{0} : \Delta_{0} \left( X \right) \to 0$ なので $\ker \partial_{0} = \Delta_{0} \left( X \right)$ です。

円 $S^{1}$

$1$-ユニットスフィア、つまり円 $X = S^{1}$を考えると、$0$-シンプレックスは頂点 $v$ 一つ、$1$-シンプレックスはエッジ $e$ 一つ、$n \ge 2$ で $n$-シンプレックスは存在しないので、チェーンコンプレックス自体は以下のように構成されるでしょう。

$$ \cdots \longrightarrow 0 \longrightarrow \Delta_{1}\left( S^{1} \right) \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} \Delta_{0}\left( S^{1} \right) \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0 $$

自由群 $\Delta_{1}\left( S^{1} \right)$ は $e$ 一つで生成されるので $\Delta_{1}\left( S^{1} \right) \simeq \mathbb{Z}$ であり、$\Delta_{0}\left( S^{1} \right)$ も $v$ 一つで生成されるので $\Delta_{0}\left( S^{1} \right) \simeq \mathbb{Z}$ です。一方 $$ \partial e = v - v = 0 $$ なので $\partial_{1}$ はゼロ準同型です。

$n = 0$ の場合、$\ker \partial_{0} = \Delta_{0} \left( S^{1} \right)$ であり、$\partial_{1}$ がゼロ準同型なのでその像は $\left\{ 0 \right\}$ となり、以下が得られます。 $$ \begin{align*} H_{0}^{\Delta} \left( S^{1} \right) =& \ker \partial_{0} / \operatorname{Im} \partial_{1} \\ \simeq& \Delta_{0} \left( S^{1} \right) / \left\{ 0 \right\} \\ \simeq& \mathbb{Z} \end{align*} $$

$n = 1$ の場合、$\partial_{2}$ の定義域が $0$ なので $\operatorname{Im} \partial_{2} = \left\{ 0 \right\}$ であり、$\partial_{1}$ がゼロ準同型なので $\ker \partial_{1}$ はその定義域である $\Delta_{1} \left( S^{1} \right)$ 自体となり、以下が得られます。 $$ \begin{align*} H_{1}^{\Delta} \left( S^{1} \right) =& \ker \partial_{1} / \operatorname{Im} \partial_{2} \\ \simeq& \Delta_{1} \left( S^{1} \right) / \left\{ 0 \right\} \\ \simeq& \mathbb{Z} \end{align*} $$

$n \ge 2$ に対しては、$H_{n}^{\Delta} \left( S_{1} \right) \simeq 0$ なので、以下のように要約できます。 $$ H_{n}^{\Delta} \left( S_{1} \right) \simeq \begin{cases} \mathbb{Z} & , \text{if } n = 0, 1 \\ 0 & , \text{if } n \ge 2 \end{cases} $$

トーラス $T^{2}$

上の図のようなトーラス $T^{2}$を考えると、$0$-シンプレックスは頂点 $v$ 一つ、$1$-シンプレックスはエッジ $a$、$b$、$c$ 三つ、$2$-シンプレックスは $U$、$L$ 二つ、$n \ge 3$ で $n$-シンプレックスは存在しないので、チェーンコンプレックス自体は以下のように構成されるでしょう。

$$ \cdots \longrightarrow 0 \longrightarrow \Delta_{2}\left( T \right) \overset{\partial_{2}}{\longrightarrow} \Delta_{1}\left( T \right) \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} \Delta_{0}\left( T \right) \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0 $$

これにより、自由群 $\Delta_{n} \left( T \right)$ は $$ \Delta_{n} \left( T \right) \simeq \begin{cases} \mathbb{Z}^{1} & , \text{if } n = 0 \\ \mathbb{Z}^{3} & , \text{if } n = 1 \\ \mathbb{Z}^{2} & , \text{if } n = 2 \\ 0 & , \text{if } n \ge 3 \end{cases} $$

となります。一方、エッジ $a$、$b$、$c$ の両端点は $v$ に接続されているので $$ \begin{align*} \partial a =& v - v = 0 \\ \partial b =& v - v = 0 \\ \partial c =& v - v = 0 \end{align*} $$ であり、円の場合と同様に $\partial_{1}$ はゼロ準同型です。

$n = 0$ の場合、円の場合と同様に以下が成立します。 $$ \begin{align*} H_{0}^{\Delta} \left( T \right) =& \ker \partial_{0} / \operatorname{Im} \partial_{1} \\ \simeq& \Delta_{0} \left( T \right) / \left\{ 0 \right\} \\ \simeq& \mathbb{Z} \end{align*} $$

$n = 1$ の場合、$\partial_{1}$ がゼロ準同型なので $\ker \partial_{1}$ はその定義域である $\Delta_{1} \left( T \right)$ 自体です。一方で $\partial_{2} : \Delta_{2}\left( T \right) \to \Delta_{1}\left( T \right)$ について $$ \partial_{2} U = a + b - c = \partial_{2} L $$ であり、$\left\{ a, b, a + b - c \right\}$ は $\Delta_{1}\left( T \right)$ の基底なので $H_{1}^{\Delta}$ は$a$ と $b$ で生成される自由群と同型です。つまり、以下が成立します。 $$ H_{1}^{\Delta} \left( T \right) \simeq \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $$

$n = 2$ の場合、$\partial_{3}$ の定義域が $0$ なので $\operatorname{Im} \partial_{3} = \left\{ 0 \right\}$ であり、$\partial_{2} : \Delta_{2}\left( T \right) \to \Delta_{1}\left( T \right)$ では $\Delta_{2}\left( T \right) \simeq \mathbb{Z}^{2}$ で $\Delta_{1}\left( T \right) \simeq \mathbb{Z}^{3}$ なので $\ker \partial_{2} \simeq \mathbb{Z}^{3-2}$ です。これを整理すると、以下が得られます。 $$ \begin{align*} H_{2}^{\Delta} \left( T \right) =& \ker \partial_{2} / \operatorname{Im} \partial_{3} \\ \simeq& \mathbb{Z}^{3-2} / \left\{ 0 \right\} \\ \simeq& \mathbb{Z} \end{align*} $$

$n \ge 3$ に対しては、$H_{n}^{\Delta} \left( T \right) \simeq 0$ なので、以下のように要約できます。 $$ H_{n}^{\Delta} \left( T \right) \simeq \begin{cases} \mathbb{Z} & , \text{if } n = 0 \\ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} & , \text{if } n = 1 \\ \mathbb{Z} & , \text{if } n = 2 \\ 0 & , \text{if } n \ge 3 \end{cases} $$

定理

$H_{n}^{\Delta}$ はホモロジーグループである

ホモロジーグループの定義:

1. $n \in \mathbb{N}_{0}$ とします。アーベル群 $C_{n}$ と準同型 $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ のチェーン $$ \cdots \longrightarrow C_{n+1} \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} C_{n} \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} C_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow C_{1} \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0 $$ がすべての $n$ に対して $$ \partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0 $$ を満たす場合、$\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{n}, \partial_{n} \right) \right\}_{n=0}^{\infty}$ をチェーンコンプレックスと呼びます。
2. 商群 $H_{n} := \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ を $\mathcal{C}$ の第 $n$ ホモロジーグループと呼びます。
3. 準同型 $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ を境界または微分オペレータと呼びます。

$$ \cdots \longrightarrow \Delta_{n+1} \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} \Delta_{n} \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} \Delta_{n-1} \longrightarrow \cdots $$

チェーンコンプレックス $\left\{ \left( \Delta_{n} (X) , \partial_{n} \right) \right\}_{n=0}^{\infty}$ に対して $H_{n}^{\Delta} := \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ はホモロジーグループです。つまり、すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して $\partial_{n} \circ \partial_{n+1}$ はゼロ準同型です。

証明

$\sigma \in \Delta_{n}$ に $\partial_{n-1} \circ \partial_{n}$ を適用してみると、以下が得られます。 $$ \begin{align*} & \left( \partial_{n-1} \circ \partial_{n} \right) \left( \sigma \right) \\ =& \partial_{n-1} \left( \partial_{n} \left( \sigma \right) \right) \\ =& \partial_{n-1} \left( \sum_{i=0}^{n} \left( -1 \right)^{i} \sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} , \cdots , v_{n} \right] \right) \\ =& \sum_{j < i} \left( -1 \right)^{i} \left( -1 \right)^{j} \sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} , \cdots , \hat{v}_{j} , \cdots , v_{n} \right] \\ & + \left( -1 \right) \sum_{j >i} \left( -1 \right)^{i} \left( -1 \right)^{j} \sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} , \cdots , \hat{v}_{j} , \cdots , v_{n} \right] \\ =& 0 \end{align*} $$

実際、このような証明は、一般的に証明するよりも、帰納的な例を示すことがより役立ちます。 $$ \begin{align*} & \partial_{1} \left( \partial_{2} \left[ v_{0}, v_{1} , v_{2} \right] \right) \\ =& \partial_{1} \left( \left[ v_{1} , v_{2} \right] - \left[ v_{0}, v_{2} \right] + \left[ v_{0}, v_{1} \right] \right) \\ =& \partial_{1} \left[ v_{1} , v_{2} \right] - \partial_{1} \left[ v_{0}, v_{2} \right] + \partial_{1} \left[ v_{0}, v_{1} \right] \\ =& \left[ v_{2} \right] - \left[ v_{1} \right] - \left( \left[ v_{2} \right] - \left[ v_{0} \right] \right) + \left[ v_{1} \right] - \left[ v_{0} \right] \\ =& 0 \end{align*} $$

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