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デルタ-コンプレックスの定義 📂位相データ分析

デルタ-コンプレックスの定義

定義 1

シンプレックスの定義:

  1. アフィン独立v0,v1,,vnRn+1v_{0}, v_{1} , \cdots , v_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}凸包nn-シンプレックスnn-simplex Δn\Delta^{n} と言い、ベクター vkv_{k}頂点vertexと呼ぶ。数式で示すと以下の通り。 Δn:={ktkvk:vkRn+1,tk0,ktk=1} \Delta^{n} := \left\{ \sum_{k} t_{k} v_{k} : v_{k} \in \mathbb{R}^{n+1} , t_{k} \ge 0 , \sum_{k} t_{k} = 1 \right\}
  2. Δn\Delta^{n} からひとつの頂点が取り除かれて作られた n1n-1-シンプレックス Δn1\Delta^{n-1}Δn\Delta^{n}faceと言い、Δn\Delta^{n} のすべての面の合併境界boundaryと言って、Δn\partial \Delta^{n} で示す。
  3. シンプレックスの内部 (Δn):=ΔnΔn\left( \Delta^{n} \right)^{\circ} := \Delta^{n} \setminus \partial \Delta^{n}オープンシンプレックスopen Simplexと呼ぶ。

位相空間 XX 上の Δ\Delta-コンプレックス構造Δ\Delta-Complex Structureとは、インデックス α\alpha に依存する n:=n(α)n := n(\alpha) を持ち、次の三つの条件を満たす写像 σα:ΔnX\sigma_{\alpha} : \Delta^{n} \to X集合である。

  • (i): σα\sigma_{\alpha} のオープンシンプレックス (Δn)\left( \Delta^{n} \right)^{\circ} での制限関数 σα(Δn)\sigma_{\alpha} | \left( \Delta^{n} \right)^{\circ}単射であり、XX の各点は σα(Δn)\sigma_{\alpha} | \left( \Delta^{n} \right)^{\circ} のイメージのちょうど一つに含まれる。
  • (ii): σα\sigma_{\alpha}Δn\Delta^{n} の一つの面での制限関数σβ:Δn1X\sigma_{\beta} : \Delta^{n-1} \to X の一つである。
  • (iii) 連続性: すべての σγ\sigma_{\gamma}連続関数でなければならない。つまり、AXA \subset XXX開集合であることは、すべての σα\sigma_{\alpha} の定義域 Δn\Delta^{n}σγ1(A)\sigma_{\gamma}^{-1} (A)開集合であることと同義である。

説明

注意点

ここで定義されるものが正確にコンプレックスではなく コンプレックス構造であり、そしてそれがただの「写像の集合」であることを理解することが重要である。代数学や位相学無しでこの集合だけを持っていても、ほとんど何もできない。定義で述べられている共通集合 σ1σ2\sigma_{1} \cap \sigma_{2} などを考えることもできない。しかし、条件(ii)がその役割を果たすため、概念的にこれをコンプレックスと呼ぶことに問題はないが、詳細が必要な場合は議論することが重要である。

代数位相

これらの写像自体を一種の文字として見ることで、自由群におけるシンプリシャル・ホモロジー群を作り、探求していく。その時点になると、シンプレックス Δn\Delta^{n} や空間 XX などはもはや覚えていなくなるかもしれないが、そのためには一度はしっかりと勉強しておく必要がある。

例: トーラス

テキストだけでは理解が難しいのが普通だ。最もシンプルな例として、トーラス X=TX = T を見てみよう。

構成

実際、トーラスを作るには シンプレックスコンプレックス、すなわちシンプリシャル・コンプレックスまで必要はなく、単に正方形 S1×S1S^{1} \times S^{1} で十分だが、意味ある代数的探究のためには、後で説明する 66 個の写像が必要になる。

20220118_105810.png

これはトーラスを上から見た投影図である。σa\sigma_{a}, σb\sigma_{b}, σv\sigma_{v} はトーラスを作る際のナイーブな方法である種の「骨格」の役割をする写像である。σb\sigma_{b} は正方形を丸めて円筒を作り、σa\sigma_{a} はその円筒の両端を繋げてドーナツを作る。この時、正方形の頂点は正確に一つの点に集まらなければならないが、σv\sigma_{v} がその役割を果たす。

20220118_105816.png

これはトーラスを横から見た投影図である。σU\sigma_{U}, σL\sigma_{L} はフレームの間を埋める「面」と言える部分をマッピングしている。繰り返し強調するが、σc\sigma_{c} はトーラスを考えた際には必ずしも必要ではないが、正方形を二つの三角形の合併と見た時に、その境界を担う写 pmである。

定義との比較

定義に基づいて、トーラス T2T^{2}Δ\Delta-コンプレックス構造は、写像の集合 {σU,σL,σa,σb,σc,σv} \left\{ \sigma_{U}, \sigma_{L}, \sigma_{a}, \sigma_{b}, \sigma_{c}, \sigma_{v} \right\} である。22-シンプリシャル・コンプレックスまで考慮したので、α\alpha に依存する nnn=0,1,2n = 0,1,2 まで考えれば良い。

  • 条件(iii)の連続性は直感で十分理解できるはずだ。
  • α=L,U\alpha = L, U に対する n=n(α)n = n(\alpha)22 だ。これらは正方形 S1×S1S^{1} \times S^{1} を面と呼べる U,LU^{\circ}, L^{\circ} の点を全て欠けることなくXX に送る。
  • U,LU,L の面は、線分 aa, bb, cc であり、それに対応する n=(β)n = (\beta)11 だ。これらは U,LU^{\circ}, L^{\circ} を囲む線分の端点を除いてXX に送る。条件(ii)がこのように満たされる。
  • 最後に、n=0n = 0 の時、00-シンプレックスである点 vvaa, bb, cc の面であり、σv\sigma_{v} によってXX の残りの最後の点に送られる。これまでの議論により、XX の各点は六つの写像の一つのイメージに正確に含まれるため、条件(i)が満たされることが確認できる。

  1. Hatcher. (2002). Algebraic Topology: p103. ↩︎