📂位相幾何学

数学でのトーラスとは?

定義

上述のような写像^mapによって、$1$スフィアの二乗である四角形$S^{1} \times S^{1} = [0,1] \times [0,1]$と、位相同型である商空間$T$をトーラス^torusという。図にあるように、一番右のドーナツ形がトーラスの一例である。

説明

トーラスは、数学全般において非常に貴重に扱われる空間―具体的には図形である。一般に広く知られているトポロジーのイメージ(ドーナツはコーヒーカップと位相同型であるなど)に欠かせない存在である。

プアンカレ予想

プアンカレ予想は、フランスの偉大な数学者ポアンカレ^poincaréによって提案され、グリゴリー・ペレルマン^{Григо́рий Перельма́н}によって証明された。

プアンカレ予想: ある閉じた$3$次元の多様体上のすべての単純閉曲線がひとつの点に縮約することができるならば、その空間は球体に変形することができる。

トーラスがこの予想に必要不可欠というわけではないが、専門家でなくてもすぐに理解できる簡単な例がトーラスである。たとえば、上の画像のようにトーラスの面に赤い糸で輪を作ったとする。中央に穴が開いているドーナツの穴のため、これを一点に縮約させることは不可能である。プアンカレ予想は、逆にこのような閉曲線を常に一点に縮小できる時、それがドーナツの穴のない球であることを保証できるかどうかを問うものである。

代数トポロジー

実際に、トーラスを作るには、シンプレックスのコンプレックス、つまりシンプリシャルコンプレックスまでは不要で、四角形$S^{1} \times S^{1}$だけで十分である。しかし、$\Delta$-コンプレックス構造を持ち、それに関する有意義な代数的探究を行うには、後で説明する$6$の写像^mapが必要である。

これは上から見たトーラスの投影図である。$\sigma_{a}$、$\sigma_{b}$、$\sigma_{v}$は、トーラスを作る際に、一種の「骨格」となる写像である。$\sigma_{b}$は四角形を丸めて円筒を作り、$\sigma_{a}$はその円筒の両端を結びつけてドーナツを作る。このとき四角形の頂点は正確に一点に集まる必要があり、$\sigma_{v}$がその役割を果たす。

これはトーラスを横から見た投影図である。$\sigma_{U}$、$\sigma_{L}$は、骨格の間を埋める「面」をマッピングしている。繰り返しになるが、$\sigma_{c}$はトーラスを考える上で必ずしも必要ではなく、四角形を二つの三角形の合併と見たときにその境界を担う写像である。

周期境界条件

トーラスは、周期境界条件^{periodic Boundary condition}が与えられた単位正方形$[0,1] \times [0,1]$と見なすこともできる。次の図で、ゴルファーの球は一見$S^{1} \times S^{1}$の境界を越えて脱出するように見えるが、これがトーラス上でのショットならば、球は背後に落ちることになる。

当然、これは左右の境界だけでなく、上下の周期境界$b$でも起こる。四角形をトーラスと見なすことは、このように「境界に周期性があり、一方の端に到達すると反対側の端から現れる」ということを簡潔に表現している。

無限平面

周期境界条件と同じ言葉だが、この空間をどのように見るかによって、新しい応用が可能になることもある。例えば、特定の生物に関する生態系の研究に際して、それらが位置している地形を無視し、それらの相互作用が全体空間のどこでも均等に発生すると仮定してみよう。

上の図のように、トーラスの展開図である四角形を境界に合わせて配置することを想像してみよ。単一のトーラスは、このように無限平面の一部を代表するものと考えることができる。シミュレーションを行う場合、単一のトーラス上でのシミュレーションは、一般性を失わずに無限平面でのシミュレーションと見なすことができる。

特性

座標区画写像

中心からチューブまでの距離が$R$で、チューブの直径が$r$である3次元のトーラスの座標区画写像は、$(u_{1}, u_{2}) \in [0, 2\pi) \times [0, 2\pi)$に関して、次のようである。

$$\mathbf{x}(u_{1}, u_{2}) = \left( (R + r\cos u_{2})\cos u_{1}, (R + r\cos u_{2})\sin u_{1}, r\sin u_{1} \right)$$

単純連結性

トーラス$T^{2}$は単純連結ではない。