位相数学におけるディスクとスフィア 📂位相データ分析

位相数学におけるディスクとスフィア

定義 ¹

ユークリッド空間 $\left( \mathbb{R}^{n} , \left\| \cdot \right\| \right)$では、次のような形を定義している。

$D^{n} \subset \mathbb{R}^{n}$として定義されたものを、$n$-ユニットディスクと呼ぶ。 $$ D^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} : \left\| \mathbf{x} \right\| \le 1 \right\} $$
$S^{n} \subset \mathbb{R}^{n+1}$として定義されたものを、$n$-ユニットスフィアと呼ぶ。 $$ S^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n+1} : \left\| \mathbf{x} \right\| = 1 \right\} $$
$D^{n} \setminus \partial D^{n}$とホメオモーフィックな開集合 $e^{n}$も、$n$-セルとも言う。

$n$-ディスクの境界は$n$-スフィアである。つまり、下記が成立する。 $$ \partial D^{n} = S^{n-1} $$

ディスクとスフィアは、$n=2$の時点から見ると理解しやすい。表現上、$2$-ディスクは日常で接するディスク、中が全て埋まった円盤の形をしていて、$2$-スフィアはそれよりも上の$2+1$次元で、体積を持たず面積だけを持つ球自体を表す。

定義されているように、$D^{3}$はディスクのように見えないが、ちゃんとディスクである。一方、セルは見ての通り、位相同型を通じて定義されるので、ディスクやスフィアのように集合として正確に定義される必要はない。

これは、セルが形やサイズ、位置などに自由であるという意味で理解してもいいし、このようにセルを考えることで、一般的に知られている位相数学の姿が明らかになる。

$n = 0$の場合は、$D^{0} = \left\{ 0 \right\}$であり$e^{n}$はそれにホメオモーフィックな唯一の点で構成されているが、$S^{0}$はすぐに$\partial D^{1}$を意味するので、2つの点を持っている。