垂直軸定理
垂直軸の定理
任意の平面に垂直な回転軸に対する慣性モーメントは、その垂直軸を通過しながら平面上に存在する互いに垂直な任意の二軸に対する慣性モーメントの合計と等しい。
$$ \color{red}{I_{z}}=\color{blue}{I_{x}+I_{y}} $$
証明
$$ I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}{r_{i}}^{2} $$
ピタゴラスの定理により${r_{i}}^{2}={x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2}$であるから、上の式にこれを代入すると次のようになる。
$$ I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}({x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2})=\sum\limits_{i} m_{i}{x_{i}}^{2}+\sum\limits_{i} m_{i}{y_{i}}^{2} $$
$x$は$y$-軸からの距離であり、$y$は$x$-軸からの距離であるから、次のようになる。
$$ \sum\limits_{i} m_{i}{x_{i}}^{2}=I_{y}, \quad \sum\limits_{i} m_{i}{y_{i}}^{2}=I_{x} $$
したがって、
$$ I_{z}=I_{x}+I_{y} $$
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