Pythonで線形計画問題を解く方法
概要
scipyパッケージを使えばいい1。行列形で示された線形計画問題の$A, \mathbf{b}, \mathbf{c}$を入れて使う。
コード
$$ \begin{matrix} \text{Maximize} & & x_{1} & + & x_{2} \\ \text{subject to} &-& x_{1} & + & x_{2} & \le & 1 \\ & & x_{1} & & & \le & 3 \\ & & & & x_{2} & \le & 2 \end{matrix} $$
簡単な例として、$x_{1} , x_{2} \ge 0$でこのような最大化問題を解いてみよう。生エビの寿司屋ではこの問題をシンプレックス・メソッドを使って手で解いてみて、その答え$\left( x_{1}^{\ast}, x_{2}^{\ast} \right) = (3,2)$を知っている。この線形計画問題は
$$ \begin{matrix} \text{Optimize} & \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \\ \text{subject to} & A \mathbf{x} \le \mathbf{b} \end{matrix} $$
このような形で$\mathbf{c} = (1,1)$、$A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$、$\mathbf{b} = (1,3,2)$であるから、次のように書き換えて解ける。
c = [-1, -1]
A = [[-1, 1], [1, 0], [0, 1]]
b = [1, 3, 2]
x1_bounds = (0, None)
x2_bounds = (0, None)
from scipy.optimize import linprog
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[x1_bounds, x2_bounds])
ここでc = [1,1]ではなくc = [-1,-1]を使った理由は、linprog()のデフォルトの最適化方向が最小化のためだ。その方向を反転させるだけで、結果は既にわかっているように$\left( x_{1}, x_{2} \right) = \left( 3,2 \right) =$array([3., 2.])だ。
>>> res
con: array([], dtype=float64)
fun: -4.99999999998958
message: 'Optimization terminated successfully.'
nit: 4
slack: array([2.00000000e+00, 2.76267897e-12, 7.65787433e-12])
status: 0
success: True
x: array([3., 2.])
環境
- OS: Windows
- python: v3.9.7
- scipy v1.7.3