細い棒の慣性モーメント
公式
長さが$a$、質量が$m$の棒の慣性モーメントは
回転軸が棒の端にある場合、$I=\dfrac{1}{3}ma^{2}$である。
回転軸が棒の中央にある場合、$I=\dfrac{1}{12}ma^{2}$である。
導出
回転軸が棒の端にある場合
$\rho$を単位長さ当たりの質量とすると、棒の質量は$m=\rho x$である。また、$dm=\rho dx$なので、次のようになる。
$$ I_{z} = \int_{0}^{a} x^{2}\rho dx = \frac{1}{3}a^{3}\rho $$
しかし、棒の長さが$a$であるので、$\rho=\dfrac{m}{a}$になり、次の結果を得る。
$$ I_{z}=\frac{1}{3}ma^{2} $$
回転軸が棒の中央にある場合
$$ \begin{align*} I_{z} &= \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}x^{2}\rho dx = \frac{1}{3} \left( \frac{a^{3}}{8}+\frac{a^{3}}{8} \right)\rho \\ &= \frac{1}{12}a^{3}\rho \\ &= \frac{1}{12}ma^{2} \end{align*} $$
比較
二つの結果を比較すると、回転軸が棒の中央にある場合の慣性モーメントの方が小さい。つまり、同じ力で棒を回すとき、回転軸が中央にある棒の方がより多く回転することになる。