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ユニモーダル分布の最短信頼区間 📂数理統計学

ユニモーダル分布の最短信頼区間

定理

ユニモーダル関数の定義

関数 f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} が x≤x∗x \le x^{\ast} で減少せず、x≥x∗x \ge x^{\ast} で増加しないようにする モード x∗x^{\ast} が存在する場合、ff は ユニモーダル と呼ぶ。特に、ff の確率密度関数がユニモーダルであれば、その確率分布を ユニモーダル分布 と呼ぶ。

最短の信頼区間

f(x)f(x) をユニモーダル確率密度関数とする。区間 [a,b][a,b] が次の3つの条件

  • (i): ∫abf(x)dx=1−α\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = 1 - \alpha
  • (ii): f(a)=f(b)>0f(a) = f(b) > 0
  • (iii): a≤x∗≤ba \le x^{\ast} \le b

を満たす場合、[a,b][a,b] は ii を満たす全ての区間の中で最も短い。

説明

何らかの線 y=k(α)y = k(\alpha) を引いて f(a)=f(b)f(a) = f(b) することで信頼区間を捉えるというのは、ベイズの最高事後密度信頼区間に似たアイデアから来ている。

証明

戦略：定理の証明自体には、実際には確率論的な概念が必ずしも必要ではなく、確率密度関数が持つ様々な性質を満たす場合、基本的な微積分学の知識で十分である。本格的な証明は背理法を使う。定理で言及されている条件 (i) を満たしながら [a,b][a,b] よりも短い区間 [a’,b’]\left[ a’, b’ \right] が存在すると仮定、つまり b’−a’<b−ab’-a’ < b-a とすると、全ての場合で ∫a’b’f(x)dx<1−α\int_{a’}^{b’} f(x) dx < 1-\alpha となり、矛盾が生じる。

ケース1. b’≤ab’ \le a

▶eq1 ◀

ケース2. b’>ab’ > a

もし b≤b′b \le b ' ならば、そもそも b’−a’≥b−ab’-a’ \ge b-a なので、a’≤a<b’<ba’ \le a < b’ < b の場合のみ考えればよい。 ∫a’b’f(x)dx≤f(b’)(b’−a’)+[∫a’af(x)dx−∫b’bf(x)dx]=(1−α)+[∫a’af(x)dx−∫b’bf(x)dx]=(1−α)+R \begin{align*} \int_{a’}^{b’} f(x) dx \le& f \left( b’ \right) \left( b’ - a’ \right) + \left[ \int_{a’}^{a} f(x) dx - \int_{b’}^{b} f(x) dx \right] \\ =& (1-\alpha) + \left[ \int_{a’}^{a} f(x) dx - \int_{b’}^{b} f(x) dx \right] \\ =& (1-\alpha) + R \end{align*} 従って、R:=[∫a’af(x)dx−∫b’bf(x)dx]<0R := \left[ \int_{a’}^{a} f(x) dx - \int_{b’}^{b} f(x) dx \right] < 0 であることを示せば十分である。 ∫a’af(x)dx≤f(a)(a−a’)∫b’bf(x)dx≥f(b)(b−b’) \begin{align*} \int_{a’}^{a} f(x) dx \le& f(a) \left( a - a’ \right) \\ \int_{b’}^{b} f(x) dx \ge& f(b) \left( b - b’ \right) \end{align*} そのため、 R=∫a’af(x)dx−∫b’bf(x)dx≤f(a)(a−a’)−f(b)(b−b’)=f(a)[(a−a’)−(b−b’)]∵f(a)=f(b)=f(a)[(b’−a’)−(b−a)] \begin{align*} R =& \int_{a’}^{a} f(x) dx - \int_{b’}^{b} f(x) dx \\ \le & f(a) \left( a - a’ \right) - f(b) \left( b - b’ \right) \\ =& f(a) \left[ \left( a - a’ \right) - \left( b - b’ \right) \right] & \because f(a) = f(b) \\ =& f(a) \left[ \left( b’ - a’ \right) - \left( b - a \right) \right] \end{align*} f(a)>0f(a) > 0 であり、(b’−a’)<(b−a)\left( b’ - a’ \right) < \left( b-a \right) と仮定したので、R<0R < 0 となる。

どの場合でも ∫a’b’f(x)dx<1−α\int_{a’}^{b’} f(x) dx < 1 - \alpha となるので、仮定に矛盾があり、したがって条件 (i) を満たす [a,b][a,b] より短い区間は存在しない。

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