📂動力学

SEIRモデル：潜伏期と潜在期

概要

SEIR モデルは、SIR モデルに接触群を追加した疫学の区分モデルです。

モデル ^{1 2}

$$\begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S \\ {{d E} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - {{ 1 } \over { \tau }} E \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ 1 } \over { \tau }} E - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*}$$

変数

• $S(t)$: $t$ の時点で病気になりうる^susceptible 集団の個体数を表す。
• $E(t)$: $t$ の時点で接触群^exposedの個体数を表す。
• $I(t)$: $t$ の時点で病気を伝えることができる^infectious 集団の個体数を表す。
• $R(t)$: $t$ の時点で回復した^recovered 集団の個体数を表す。
• $N(t) = S(t) + E(t) + I(t) + R(t)$: 総個体数を表す。

パラメータ

• $\beta>0$: 伝染率^{infection rate}である。
• $1/\tau>0$: 平均潜伏時間^latencyである。
• $\mu>0$: 回復率^{recovery rate}である。

解説

通常、接触直後に症状が現れ、すぐに伝播される病気はないため、SIR モデルよりも現実的なモデルと考えられる。病気の広がりの文脈で接触群 $E$ とは、感染者と接触して病原体を移され、まもなく病気にかかるが、まだ体内で十分に増殖していないため、感染力がない状態としても問題ないと見なされる。

潜伏期間と潜在期間

$\tau$ は、通常 潜伏期間^{incubation Period}と潜在期間^{latent Period}として混同されているが、感染症学的には接触後に臨床的な症状が起こるまでの期間を潜伏期間、感染力が出るまでの期間を潜在期間と区別する風潮がある。³

数理モデリングでは、完全に$I$ に入る前に感染力がない期間を潜在期間と言い、$E$ でも感染力があれば潜伏期間と呼べる。時間が経過するにつれて感染力が強くなるなど、ウイルス量^{viral Load}を考慮すると、このような区分が意味を持つ。

発生個数と有病率

モデル内で接触時期と症状の発現のタイミングに差があるため、発生^incidenceと有病^prevalenceも区別されるべきである。特定の期間$\Delta t$ の間に$E$ から$I$ に移った数を発生症例数と言い、特定の時点$t$ で疾患を持つ個体の割合$I(t)/N(t)$ を有病率という。

実際には、発生は疾病にかかったかどうかの診断によって知られるため、確認済み^confirmedとも表現される。

確率モデル^{stochastic model}

通常の微分方程式ではなくシミュレーション モデルなどでは、$\tau$ を確率変数として扱うことができる。その分布は研究している疾病によって異なるが、通常はワイブル分布またはガンマ分布などを考慮する。