ポーカー・プランク方程式の導出
定理
$$ d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t , X_{t} \right) d W_{t} \qquad , t \in \left[ t_{0} , T \right] $$ 確率微分方程式が上記のように与えられ、$F \in C_{0}^{\infty} \left( \mathbb{R} \right)$とする。そうすると、$t$時点での$X_{t}$の確率密度関数$p(t,x)$は、次の偏微分方程式に従う。 $$ {{ \partial p(t,x) } \over { \partial t }} = - {{ \partial \left[ p(t,x) f(t,x) \right] } \over { \partial x }} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} \left[ p(t,x) \left( g(t,x) \right)^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} $$
- $C_{0}^{\infty} \left( \mathbb{R} \right)$は、無限に微分可能で、$x \to \infty$の時、関数値が$0$に収束する関数のクラスである。
説明
方程式で描写されるのは、$X_{t}$自体ではなく、その確率分布であることに注意しよう。
特に$f = 0$の場合は、熱方程式である。
導出
$$ \begin{align*} X =& X_{t} \\ f =& f \left( t, X_{t} \right) \\ g =& g \left( t, X_{t} \right) \\ g^{2} =& \left[ g \left( t, X_{t} \right) \right]^{2} \end{align*} $$
便宜上、上記のような記法を許可し、次のように広く使われる偏微分の記法を使用しよう。 $$ F_{x} = {{ \partial F } \over { \partial x }} $$
Part 1.
伊藤の公式によると、$d F \left( X \right)$を計算すると、即ち伊藤積分の期待値 $(\star)$による $$ \begin{align*} & d F \left( X \right) = \left( f F_{x} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} \right) dt + g F_{x} d W_{s} \\ \implies & \int_{0}^{t} d F \left( X \right) = \int_{0}^{t} \left( f F_{x} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} \right) dt + \int_{0}^{t} g F_{x} d W_{s} \\ \implies & E \left( F(X) \right) = E \int_{0}^{t} \left( f F_{x} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} \right) ds + 0 & \because \star \\ \implies & {{ d E (F) } \over { dt }} = E \left[ f F_{x} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} \right] \end{align*} $$
Part 2. $p (t,x)$の登場
一方、$F(X)$の期待値は、$t$時点での$X_{t}$の確率密度関数$p (t,x)$に関して$\int_{\mathbb{R}} p(t,x) F(x) dx$のように表現できるので、 $$ \begin{align*} {{ d } \over { dt } } E (F) =& E \left[ f F_{x} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} \right] \\ \implies {{ d } \over { dt }} \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) F(x) dx =& \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x)\left[ {\color{red} f F_{x}} + {\color{blue} {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} } \right] dx \end{align*} $$ では、右辺を一つずつ部分積分で計算してみよう。
Part 3. 部分積分
$p \left( t,\pm \infty \right) = 0$である。初めの項${\color{red} \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) f F_{x} dx}$は $$ \begin{align*} & \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) f F_{x} dx \\ =& \left[ p (t,x) f \cdot F(x) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial \left[ p (t,x) f \right] } \over { \partial x }} F(x) dx \\ =& 0 - 0 - \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial \left[ p (t,x) f \right] } \over { \partial x }} F (x) dx \end{align*} $$ $F \in C_{0}^{\infty} \left( \mathbb{R} \right)$という仮定によって、$F \left( \pm \infty \right) = 0$である。二番目の項${\color{blue} \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} dx}$は、部分積分を二度行うことで $$ \begin{align*} & \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} dx \\ =& \left[ p (t,x) {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} \cdot F_{x} (x) \right]_{-\infty}^{\infty} - {{ 1 } \over { 2 }} \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x }} F_{x} (x) dx \\ =& 0 - 0 - {{ 1 } \over { 2 }} \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x }} F_{x} (x) dx \\ =& - {{ 1 } \over { 2 }} \left[ {{ \partial \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x }} F (x) \right]_{-\infty}^{\infty} + {{ 1 } \over { 2 }} \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial^{2} \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} F (x) dx \\ =& - 0 + 0 + {{ 1 } \over { 2 }} \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial^{2} \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} F (x) dx \end{align*} $$
Part 4.
$$ \begin{align*} & \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial p(t,x) } \over { \partial t }} F(x) dx \\ =& {{ d } \over { dt }} \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) F(x) dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x)\left[ {\color{red} f F_{x}} + {\color{blue} {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} } \right] dx \\ =& - \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial \left[ p (t,x) f \right] } \over { \partial x }} F (x) dx + {{ 1 } \over { 2 }} \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial^{2} \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} F (x) dx \end{align*} $$ 第一行を左側に、最後の行を左側に持ってくると、次のようになる。 $$ \int_{-\infty}^{\infty} \left[ {{ \partial p(t,x) } \over { \partial t }} - \left( - {{ \partial \left[ p (t,x) f \right] } \over { \partial x }} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} \right) \right] F(x) dx = 0 $$ 上記の積分はすべての$F \in C_{0}^{\infty} \left( \mathbb{R} \right)$に対して成立するため、括弧の中が$0$となり、求めていた偏微分方程式を得る。 $$ {{ \partial p(t,x) } \over { \partial t }} = - {{ \partial \left[ p(t,x) f(t,x) \right] } \over { \partial x }} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} \left[ p(t,x) \left( g(t,x) \right)^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} $$
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参照
- コルモゴロフの微分方程式の確率微分方程式バージョンとみなしても構わない。