📂複素解析

複素解析を用いたテイラー級数の導出

定理 ¹

関数 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が円 $|z - \alpha| < r$ で解析的であれば、 $$ f(z) = \sum_{n = 0} ^{\infty} {{f^{(n)} (\alpha)} \over {n!}} (z - \alpha)^n $$

説明

数学の楽しみの一つは一般化である。テイラーの定理は、平均値の定理の一般化と見なすことができるが、今回は実数を複素数に拡張してみよう。面白いことに、段階的に拡張していくにも関わらず、証明はより単純になった。学ぶ価値を感じさせてくれる新鮮できれいな証明方法だ。

導出

まず、円 $\mathscr{C}: |z| = r$ とその内部の点 $w$ を考えよう。コーシーの積分公式によって、 $$ \begin{align*} f(w) =& {{1} \over {2 \pi i}} \int_{ \mathscr{C} } {{f(z)} \over {z - w}} dz \\ =& {{1} \over {2 \pi i}} \int_{ \mathscr{C} } {{f(z)} \over {z}} { {1} \over {1 - {{w} \over {z}} } } dz \end{align*} $$ 無限等比級数で表すと $\displaystyle {{1} \over {1 - { {w} \over {z} } }} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( {{w} \over {z}} \right) ^{n}$ であり、上記の積分に再度代入すると、 $$ \begin{align*} f(w) =& {{1} \over {2 \pi i}} \int_{ \mathscr{C} } {{f(z)} \over {z}} \sum_{n=0}^{\infty} \left( {{w} \over {z}} \right) ^{n} dz \\ =& {{1} \over {2 \pi i}} \sum_{n=0}^{\infty} w^{n} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over {z^{n+1}}} dz \end{align*} $$

微分に対するコーシーの積分公式の一般化: 関数 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が単連結領域 $\mathscr{R}$で解析的だとする。

$\mathscr{R}$ 内の単純閉曲線 $\mathscr{C}$ がある点 $\alpha$ を囲んでいる場合、自然数 $n$ に対して

$$f^{(n)} (\alpha) = {{n!} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - \alpha)^{n+1} }} dz$$

再び、コーシーの積分公式によれば $\displaystyle {{1} \over {2 \pi i}} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over {z^{n+1}}} dz = {{f^{(n)} (0)} \over {n!}}$ となるので、 $$ f(w) = \sum_{n = 0} ^{\infty} {{f^{(n)} (0)} \over {n!}} w^n $$ 今度は円 $|z- \alpha| = r$ に一般化するために $z-\alpha = w$ とすると、 $$ f(z) = f(w+\alpha) = \sum_{n=0}^{\infty} {{f^{(n)}(\alpha) (z-\alpha)^{n}} \over {n!}} $$

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