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抽象代数学における自由群

定義 ¹

1. インデックス集合 $I \ne \emptyset$ に対して、集合 $A := \left\{ a_{i} : i \in I \right\}$ を アルファベット^alphabetと呼び、その要素 $a_{i} \in A$ を レター^letterとしよう。
2. 整数 $n \in \mathbb{Z}$ に対して、$a_{i}^{n}$ のような形を 音節^syllableと言い、これらの有限な並べ替え^juxtapostionである文字列 $w$ を 単語^wordとする。
3. 音節 $a_{i}^{n} a_{i}^{m}$ は、$a_{i}^{n+m}$ のように表現でき、これを 初等縮約^{elementary contraction}と言う。これ以上初等縮約できない単語を 縮約語^{reduced word}とし、特に $1 := a_{i}^{0}$ を 空単語^{empty word}とする。
4. アルファベット $A$ のレターで作れる全ての縮約語の集合を $F [A]$ としよう。二つの単語 $w_{1} , w_{2} \in F[A]$ に対して、$w_{1} \cdot w_{2}$ が縮約語形で表される 二項演算 $\cdot : F[A]^{2} \to F[A]$ を定義する。群 $\left( F[A], \cdot \right)$ を $A$ によって生成されたフリーグループ^{free group generated by $A$}と呼ぶ。
5. $G$ が集合 $A := \left\{ a_{i} : i \in I \right\}$ の要素を 生成元として持つ群であり、$\phi \left( a_{i} \right) = a_{i}$ の 同型 $\phi : G \to F [A]$ が存在するなら、$G$ を $A$ 上でフリー^{free on $A$}であると言い、$a_{i}$ を$G$ の フリージェネレーター^{free Generator}と呼ぶ。
6. $A \ne \emptyset$ 上でフリーな群を フリーグループ^{free group}と定義し、$A$ の 濃度 $|A|$ をフリーグループの ランク^rankと呼ぶ。

説明

定義が長くて読むのが嫌になるかもしれないけど、実際に例を考えてみると全然難しくない。‘アルファベット’や’単語’のような用語が出てくる点に戸惑わないでほしい。代数学^代數学という言葉自体が「数を代わりに文字を使うことについての勉強」という意味だからだ。ここまで来て考えてみれば、集合に演算を加えて考えるというアプローチがあまりにも抽象的だったかもしれない。実際、フリーグループについて定義が終わった後は、上で出てきた単語はほとんど使わない。心配せずに例を見てみよう。

アルファベットとレター

$$ A = \left\{ a, b \right\} $$

上のような アルファベットを考えると、レターはただの $a$ と $b$ だけだ。

音節と単語

アルファベット $A$ に対して $$ a^{2} , b^{3}, b^{-1} $$ は全て 音節だ。これらを有限に、重複を許して並べるという意味で、並べ替え^juxtapostionという表現が使われ、定義としては、ただ 単語と言った。 $$ a^{2} b \\ bbab \\ b^{-2} a a a^{-2} b a^{-24} $$

縮約語と空単語

例として、最後の単語 $b^{-2} a a a^{-2} b a^{-24}$ が縮約される過程を見てみよう。 $$ \begin{align*} & b^{-2} a a a^{-2} b a^{-24} \\ =& b^{-2} a^{2} a^{-2} b a^{-24} \\ =& b^{-2} a^{0} b a^{-24} \\ =& b^{-2} 1 b a^{-24} \\ =& b^{-2} b a^{-24} \\ =& b^{-1} a^{-24} \end{align*} $$ ここで $a^{0} = 1$ はまるで 単位元のように機能しており、実際にも音節がないという意味でEmpty Wordと呼ばれる。群になった後は特に $1$ をアルファベットで書く必要はない。

$A$ によって生成されたフリーグループ

ここまでのビルドアップから、$\left( F[A], \cdot \right)$ は自然に 群になる。単位元は空単語 $1$ であり、全ての単語 $w$ に対して、次を満たす 逆元 $w^{-1}$ が存在する。 $$ w \cdot w^{-1} = w^{-1}\cdot w = 1 $$ 最初から $F[A]$ は具体的な単位元と逆元を与えられていたので、当然群だ。このようにフリーグループとは他でもない「群になるために作られた群」だ。

$A$ 上でフリーな群

$$ F[A] = \left\{ \cdots , a^{-2} b^{-1} , a^{-1} b^{-1}, a^{-1}, b^{-1} , 1 , a , b , ab , a b a \cdots \right\} $$ $F[A]$ の要素を具体的に並べてみると上のようだ。ここまでの定義はもちろん直感的で理解しやすいけど、実際には $G$ そのものに興味がある。例えば、整数群 $\left( \mathbb{Z} , + \right)$ を考えると、$\left\{ 1 \right\}$ の要素を 生成元として持つ巡回群であり、$F \left[ \left\{ a \right\} \right]$ と同型なので、$\left\{ a \right\}$ 上でフリーであると言える。

フリーグループとランク

ここまでの例から、$\mathbb{Z}$ は単元素集合 $\left\{ a \right\}$ 上でフリーなのでランク $1$ であり、$A = \left\{ a,b \right\}$ によって生成されたフリーグループ $F[A]$ はランク $2$ だ。