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微分演算子行列を通じたポアソン過程の定義 📂確率論

微分演算子行列を通じたポアソン過程の定義

定義

λ>0\lambda > 0が与えられたとする。X(0)=0X(0) = 0を満たし、次のような微小確率infinitesimal Probabilitiesを持つ連続確率過程{X(t):t∈[0,∞)}\left\{ X(t) : t \in [0,\infty) \right\}はポアソン過程poisson processと呼ばれる。 pij(Δt):=P(X(t+Δt=j∣X(t)=i))={λΔ+o(Δt),if j=i+11−λΔ+o(Δt),if j=io(Δt),if j>i+10,if j<i \begin{align*} p_{ij} \left( \Delta t \right) := & P \left( X \left( t + \Delta t = j | X(t) = i \right) \right) \\ =& \begin{cases} \lambda \Delta + o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j = i+1 \\ 1 - \lambda \Delta + o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j = i \\ o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j > i + 1 \\ 0 & , \text{if } j < i \end{cases} \end{align*} この確率はただ時間Δt\Delta tにのみ依存している。

  • o(Δt)o \left( \Delta t \right)は、十分に小さいΔt\Delta tに対して00に近似する関数を示す。 lim⁡Δt→0o(Δt)Δt=0 \lim_{\Delta t \to 0} {{ o \left( \Delta t \right) } \over { \Delta t }} = 0

説明

指数分布を通じたポアソン過程の定義と比べると、到着時間が従う指数分布がはっきりと示されていない代わりに、連続マルコフ連鎖であることがすぐにわかる。

遷移確率行列P(Δt)P \left( \Delta t \right)と微分生成器行列Q=P’(0)Q = P’(0)について考えると P(Δt)=[1−λΔt00⋯λΔt1−λΔt0⋯0λΔt1−λΔt⋯00tλΔ⋯⋮⋮⋯⋱]+o(Δt) P \left( \Delta t \right) = \begin{bmatrix} 1 - \lambda \Delta t & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda \Delta t & 1 - \lambda \Delta t & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda \Delta t & 1 - \lambda \Delta t & \cdots \\ 0 & 0 t & \lambda \Delta & \cdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots \end{bmatrix} + o \left( \Delta t \right) であり、 Q=lim⁡Δt→0P(Δt)=[−λ00⋯λ−λ0⋯0λ−λ⋯00λ⋯⋮⋮⋯⋱] Q = \lim_{\Delta t \to 0} P \left( \Delta t \right) = \begin{bmatrix} - \lambda & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda & - \lambda & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda & - \lambda & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots \end{bmatrix} である。コルモゴロフの微分方程式によると、時点ttでの状態がkkである確率pk(t)p_{k} (t)は dpk(t)dt=−λpk(t)+λpk−1(t) {{ d p_{k}(t) } \over { dt }} = -\lambda p_{k}(t) + \lambda p_{k-1}(t) と表され、その解は次のようになる。 p0(t)=e−λtp1(t)=λte−λtp2(t)=(λt)2e−λt2!⋮pk(t)=(λt)ke−λtk!⋮ \begin{align*} p_{0} (t) =& e^{-\lambda t} \\ p_{1} (t) =& \lambda t e^{-\lambda t} \\ p_{2} (t) =& \left( \lambda t \right)^{2} {{ e^{-\lambda t} } \over { 2! }} \\ \vdots & \\ p_{k} (t) =& \left( \lambda t \right)^{k} {{ e^{-\lambda t} } \over { k! }} \\ \vdots & \end{align*} この列挙から、マルコフ連鎖である点とp1(t)=λte−λtp_{1} (t) = \lambda t e^{-\lambda t}でのイベントが一度起こるのにかかる時間(または到着時間)τ\tauが指数分布exp⁡(λt)\exp \left( \lambda t \right)に従うことを自然に確認できる。

関連項目