微分演算子行列を通じたポアソン過程の定義
定義
$\lambda > 0$が与えられたとする。$X(0) = 0$を満たし、次のような微小確率infinitesimal Probabilitiesを持つ連続確率過程$\left\{ X(t) : t \in [0,\infty) \right\}$はポアソン過程poisson processと呼ばれる。 $$ \begin{align*} p_{ij} \left( \Delta t \right) := & P \left( X \left( t + \Delta t = j | X(t) = i \right) \right) \\ =& \begin{cases} \lambda \Delta + o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j = i+1 \\ 1 - \lambda \Delta + o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j = i \\ o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j > i + 1 \\ 0 & , \text{if } j < i \end{cases} \end{align*} $$ この確率はただ時間$\Delta t$にのみ依存している。
- $o \left( \Delta t \right)$は、十分に小さい$\Delta t$に対して$0$に近似する関数を示す。 $$ \lim_{\Delta t \to 0} {{ o \left( \Delta t \right) } \over { \Delta t }} = 0 $$
説明
指数分布を通じたポアソン過程の定義と比べると、到着時間が従う指数分布がはっきりと示されていない代わりに、連続マルコフ連鎖であることがすぐにわかる。
遷移確率行列$P \left( \Delta t \right)$と微分生成器行列$Q = P’(0)$について考えると $$ P \left( \Delta t \right) = \begin{bmatrix} 1 - \lambda \Delta t & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda \Delta t & 1 - \lambda \Delta t & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda \Delta t & 1 - \lambda \Delta t & \cdots \\ 0 & 0 t & \lambda \Delta & \cdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots \end{bmatrix} + o \left( \Delta t \right) $$ であり、 $$ Q = \lim_{\Delta t \to 0} P \left( \Delta t \right) = \begin{bmatrix} - \lambda & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda & - \lambda & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda & - \lambda & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots \end{bmatrix} $$ である。コルモゴロフの微分方程式によると、時点$t$での状態が$k$である確率$p_{k} (t)$は $$ {{ d p_{k}(t) } \over { dt }} = -\lambda p_{k}(t) + \lambda p_{k-1}(t) $$ と表され、その解は次のようになる。 $$ \begin{align*} p_{0} (t) =& e^{-\lambda t} \\ p_{1} (t) =& \lambda t e^{-\lambda t} \\ p_{2} (t) =& \left( \lambda t \right)^{2} {{ e^{-\lambda t} } \over { 2! }} \\ \vdots & \\ p_{k} (t) =& \left( \lambda t \right)^{k} {{ e^{-\lambda t} } \over { k! }} \\ \vdots & \end{align*} $$ この列挙から、マルコフ連鎖である点と$p_{1} (t) = \lambda t e^{-\lambda t}$でのイベントが一度起こるのにかかる時間(または到着時間)$\tau$が指数分布$\exp \left( \lambda t \right)$に従うことを自然に確認できる。