📂抽象代数

R-加群における抽象代数

定義 ¹

アーベル群$(G,+)$(../309)と乗法の単位元$1 \ne 0$を持つリング$(R,+,\cdot)$(../587)が二項演算$$ \mu : R \times G \to G $$に対して次の三つの条件を満たせば、$\left( G, +, R, \cdot ; \mu \right)$は$R$-モジュール^$R$-moduleと言う:

• (M1) 二元加法性: $\forall \alpha, \beta \in R$と$\forall x,y \in G$に対して $$ \begin{align*} \mu \left( \alpha + \beta , x \right) =& \mu \left( \alpha , x \right) + \mu \left( \beta , x \right) \\ \mu \left( \alpha , x + y \right) =& \mu \left( \alpha , x \right) + \mu \left( \alpha , y \right) \end{align*} $$
• (M2): $\forall \alpha, \beta \in R$と$\forall x \in G$に対して $$ \mu \left( \alpha , \mu \left( \beta , x \right) \right) = \mu \left( \alpha \beta , x \right) $$
• (M3): $\forall x \in G$に対して $$ \mu (1, x) = x $$

ここで、$R$は基礎リング^{ground ring}、またはベースリング^{base ring}とも呼ばれる。

説明

ここで$\mu$はスカラー乗法^{scalar multiplication}と呼ばれ、その演算結果である要素、スカラー積^{scalar product}は$\mu (\alpha, x) := \alpha x$のように示される。この表現に従って、上記の三つの条件は次のように表せる:

• (M1) 分配法則: $$ \begin{align*} \left( \alpha + \beta \right) x =& \alpha x + \beta x \\ \alpha \left( x + y \right) =& \alpha x + \alpha y \end{align*} $$
• (M2) 結合法則: $$ \alpha \left( \beta x \right) = \left( \alpha \beta \right) x $$
• (M3) 単位元: $$ 1 x = x $$

これらはスカラー乗法という言葉から始まり、どこか見覚えがあるが、それは線形代数でのベクトル空間の定義を飽きるほど見てきたからだ。$R$-モジュールはこの点で、$F$-ベクタースペースの一般化だ。

参照

• 線形代数学でのベクトル空間
• 抽象代数学でのベクトル空間

以下の文書で言及されている$F$-ベクタースペースは、上述のベクトル空間と何も変わりはない。ただし、見方が少し違う。線形代数学でのベクトル空間は直感的なユークリッド空間の抽象化であり、抽象代数学でのベクトル空間はそれを真の意味での「代数」に取り入れることと見ることができる。

反対に、$R$-モジュールは$F$-ベクタースペースのスカラー体$F$をスカラーリング$R$に一般化し、その意義を示している。そして、$F$-ベクタースペースの歴史や意味に無関心なネーミングでその身元を示している。グループ$G$の立場から見れば、リング$R$と新しい操作$\mu$が加えられることにより、それは加群^加群とも言える。

• 抽象代数学での$R$-モジュール
• 抽象代数学での$F$-ベクタースペース