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R-加群における抽象代数 📂抽象代数

R-加群における抽象代数

定義 1

アーベル群(G,+)(G,+)(../309)と乗法の単位元1≠01 \ne 0を持つリング(R,+,⋅)(R,+,\cdot)(../587)が二項演算μ:R×G→G \mu : R \times G \to G に対して次の三つの条件を満たせば、(G,+,R,⋅;μ)\left( G, +, R, \cdot ; \mu \right)はRR-モジュールRR-moduleと言う:

  • (M1) 二元加法性: ∀α,β∈R\forall \alpha, \beta \in Rと∀x,y∈G\forall x,y \in Gに対して μ(α+β,x)=μ(α,x)+μ(β,x)μ(α,x+y)=μ(α,x)+μ(α,y) \begin{align*} \mu \left( \alpha + \beta , x \right) =& \mu \left( \alpha , x \right) + \mu \left( \beta , x \right) \\ \mu \left( \alpha , x + y \right) =& \mu \left( \alpha , x \right) + \mu \left( \alpha , y \right) \end{align*}
  • (M2): ∀α,β∈R\forall \alpha, \beta \in Rと∀x∈G\forall x \in Gに対して μ(α,μ(β,x))=μ(αβ,x) \mu \left( \alpha , \mu \left( \beta , x \right) \right) = \mu \left( \alpha \beta , x \right)
  • (M3): ∀x∈G\forall x \in Gに対して μ(1,x)=x \mu (1, x) = x

ここで、RRは基礎リングground ring、またはベースリングbase ringとも呼ばれる。

説明

ここでμ\muはスカラー乗法scalar multiplicationと呼ばれ、その演算結果である要素、スカラー積scalar productはμ(α,x):=αx\mu (\alpha, x) := \alpha xのように示される。この表現に従って、上記の三つの条件は次のように表せる:

  • (M1) 分配法則: (α+β)x=αx+βxα(x+y)=αx+αy \begin{align*} \left( \alpha + \beta \right) x =& \alpha x + \beta x \\ \alpha \left( x + y \right) =& \alpha x + \alpha y \end{align*}
  • (M2) 結合法則: α(βx)=(αβ)x \alpha \left( \beta x \right) = \left( \alpha \beta \right) x
  • (M3) 単位元: 1x=x 1 x = x

これらはスカラー乗法という言葉から始まり、どこか見覚えがあるが、それは線形代数でのベクトル空間の定義を飽きるほど見てきたからだ。RR-モジュールはこの点で、FF-ベクタースペースの一般化だ。

参照

以下の文書で言及されているFF-ベクタースペースは、上述のベクトル空間と何も変わりはない。ただし、見方が少し違う。線形代数学でのベクトル空間は直感的なユークリッド空間の抽象化であり、抽象代数学でのベクトル空間はそれを真の意味での「代数」に取り入れることと見ることができる。

反対に、RR-モジュールはFF-ベクタースペースのスカラー体FFをスカラーリングRRに一般化し、その意義を示している。そして、FF-ベクタースペースの歴史や意味に無関心なネーミングでその身元を示している。グループGGの立場から見れば、リングRRと新しい操作μ\muが加えられることにより、それは加群加群とも言える。

  1. Sze-Tsen Hu. (1968). Introduction to Homological Algebra: p1. ↩︎