📂数理統計学

不便検定力関数と最強力検定

定義 ¹

仮説検定: $$ \begin{align*} H_{0} :& \theta \in \Theta_{0} \\ H_{1} :& \theta \in \Theta_{0}^{c} \end{align*} $$

1. 検定力関数 $\beta (\theta)$が全ての$\theta_{0} \in \Theta_{0}$と$\theta_{1} \in \Theta_{0}^{c}$に対して次を満たす場合、偏りがない^unbiased検定力関数という。 $$ \beta \left( \theta_{0} \right) \le \beta \left( \theta_{1} \right) $$
2. $\mathcal{C}$が上記の仮説検定を集めた集合だとする。$\mathcal{C}$内の検定力関数$\beta (\theta)$を持つ仮説検定$A$が、全ての$\theta \in \Theta_{0}^{c}$と$\mathcal{C}$の全ての仮説検定の検定力関数$\beta ' (\theta)$に対して $$ \beta ' (\theta) \le \beta (\theta) $$ を満たす場合、仮説検定$A \in \mathcal{C}$を最も強力な検定^{(一様に) 最も強力な検定, UMP}という。

説明

偏りがない検定力関数

$$ \beta (\theta) := P_{\theta} \left( \mathbf{X} \in \mathbb{R} \right) $$ 検定力関数は、確率$P$、正確には$X$の確率分布と棄却域$R$に応じて変わるため、定義だけからは$\beta$の形を完全に思い浮かべるのは難しい。しかし、常識的に良い検定力関数が備えるべき性質は、帰無仮説よりも対立仮説の下で検定力^{帰無仮説を棄却する力}が高くなるべきだ。$\theta_{0}$と$\theta_{1}$の選び方に関わらず、これを満たす性質を検定力関数の偏りのなさといい、このような検定力関数の関数値を比較するコンセプトは、次に紹介する最も強力な検定へと続く。

最も強力な検定

最も強い… 単なるワクワクする少年の漫画ではなく、文字通り最強の仮説検定だ。

定義のステイトメントから、検定が最も強いということは、帰無仮説が正当に棄却されるべき全ての$\theta \in \Theta_{0}^{c}$に対して、どんな検定力関数$\beta '$を考えても、最も強力な検定の検定力関数$\beta$が最も強力な検定力を持つということだ。