十分統計量を含む尤度比検定
📂数理統計学十分統計量を含む尤度比検定
定理
仮説検定:
H0:H1:θ∈Θ0θ∈Θ0c
尤度比検定統計量:
λ(x):=supΘL(θ∣x)supΘ0L(θ∣x)
T(X)がパラメータθの十分統計量であり、
- λ∗(t)がTに依存する尤度比検定統計量
- λ(x)がXに依存する尤度比検定統計量
である場合、すべての標本空間の全てのx∈Ωに対してλ∗(T(x))=λ(x)が成り立つ。
説明
この定理により、なぜ十分統計量と名付けられたかを改めて確認できる。したがって、尤度比検定を行う際、十分統計量がある場合は、他の可能性を考えることなくλ∗から始めることができる。
証明
f(x∣θ)=g(t∣θ)h(x)
ネイマン分解定理によれば、xのpdfまたはpmf f(x∣θ)は、Tのpdfまたはpmf g(t∣θ)とθに依存しない関数h(x)について、次のように表せる。
λ(x)======supΘL(θ∣x)supΘ0L(θ∣x)supΘf(x∣θ)supΘ0f(x∣θ)supΘg(T(x)∣θ)h(x)supΘ0g(T(x)∣θ)h(x)supΘg(T(x)∣θ)supΘ0g(T(x)∣θ)supΘL∗(θ∣x)supΘ0L∗(θ∣x)λ∗(T(x))∵T is sufficient∵h doesn’t depend on θ∵g is the pdf or pmf of T
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