📂数理統計学

十分統計量を含む尤度比検定

定理

仮説検定: $$ \begin{align*} H_{0} :& \theta \in \Theta_{0} \\ H_{1} :& \theta \in \Theta_{0}^{c} \end{align*} $$

尤度比検定統計量: $$ \lambda \left( \mathbf{x} \right) := {{ \sup_{\Theta_{0}} L \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) } \over { \sup_{\Theta} L \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) }} $$

$T \left( \mathbf{X} \right)$がパラメータ$\theta$の十分統計量であり、

• $\lambda^{\ast} (t)$が$T$に依存する尤度比検定統計量
• $\lambda (\mathbf{x})$が$\mathbf{X}$に依存する尤度比検定統計量

である場合、すべての標本空間の全ての$\mathbf{x} \in \Omega$に対して$\lambda^{\ast} \left( T \left( \mathbf{x} \right) \right) = \lambda \left( \mathbf{x} \right)$が成り立つ。

説明

この定理により、なぜ十分統計量と名付けられたかを改めて確認できる。したがって、尤度比検定を行う際、十分統計量がある場合は、他の可能性を考えることなく$\lambda^{\ast}$から始めることができる。

証明 ¹

$$ f \left( \mathbf{x} \mid \theta \right) = g \left( t \mid \theta \right) h \left( \mathbf{x} \right) $$

ネイマン分解定理によれば、$\mathbf{x}$のpdfまたはpmf $f \left( \mathbf{x} \mid \theta \right)$は、$T$のpdfまたはpmf $g \left( t \mid \theta \right)$と$\theta$に依存しない関数$h \left( \mathbf{x} \right)$について、次のように表せる。 $$ \begin{align*} \lambda \left( \mathbf{x} \right) =& {{ \sup_{\Theta_{0}} L \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) } \over { \sup_{\Theta} L \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) }} \\ =& {{ \sup_{\Theta_{0}} f \left( \mathbf{x} \mid \theta \right) } \over { \sup_{\Theta} f \left( \mathbf{x} \mid \theta \right) }} \\ =& {{ \sup_{\Theta_{0}} g \left( T \left( \mathbf{x} \right) \mid \theta \right) h \left( \mathbf{x} \right) } \over { \sup_{\Theta} g \left( T \left( \mathbf{x} \right) \mid \theta \right) h \left( \mathbf{x} \right) }} & \because T \text{ is sufficient} \\ =& {{ \sup_{\Theta_{0}} g \left( T \left( \mathbf{x} \right) \mid \theta \right) } \over { \sup_{\Theta} g \left( T \left( \mathbf{x} \right) \mid \theta \right) }} & \because h \text{ doesn’t depend on } \theta \\ =& {{ \sup_{\Theta_{0}} L^{\ast} \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) } \over { \sup_{\Theta} L^{\ast} \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) }} & \because g \text{ is the pdf or pmf of } T \\ =& \lambda^{\ast} \left( T \left( \mathbf{x} \right) \right) \end{align*} $$

■