📂数理統計学

最良不偏推定量、最小分散不偏推定量 UMVUE

定義 ¹

パラメータ $\theta$ が与えられているとする。偏りのない推定量 $W^{\ast}$ が、他の全ての偏りのない推定量 $W$ に対して以下を満たす場合、それを 最良偏りのない推定量 や 一様最小分散偏りのない推定量^{UMVUE, Uniform Minimum Variance Unbiased Estimator} と呼ぶ。 $$ \operatorname{Var}_{\theta} W^{\ast} \le \operatorname{Var}_{\theta} W \qquad , \forall \theta $$

説明

UMVUEは、最前のUniformを取り除いて単にMVUEとも呼ばれることがある。UMVUEは少々長すぎる上に、「最良」は非常に合っているが、「最小分散」も直感的であり、Bestが学問的な言葉ではないためか、最良偏りのない推定量という表現は韓国語でも英語でもあまり使われない。

効率的推定量との違い

一見すると、効率的推定量 と似ているが、効率的推定量はその分散が正確に ラオ-クレーマーの下限 まで下がり、理論的にこれ以上良くなることができない 偏りのない推定量 であり、最良偏りのない推定量は理論的な限界には達していなくても、他の全ての偏りのない推定量を超えればよい。最善を尽くしても、効率性が $1$ になる保証はなく、分散を理論的な下限まで最小化できなくても、最良偏りのない推定量であることに何の問題もない。

効率的推定量であれば最良偏りのない推定量であるが、その逆は成り立たない。