分岐過程

説明

定義を読めば分かる通り、ブランチング・プロセスは非常に多くの場所に適用されているから、それら全てを包含する形式的な定義を下すのが難しいんだ。多くの文献では、だいたい定義をあいまいにして、すぐに例に移る。

数学的に最もきれいなブランチング・プロセスは、ガルトン・ワトソン・プロセスで、実際には歴史上最も古く、最もシンプルで、最も有名なブランチング・プロセスでもあるんだ。ワトソンとガルトンは、特定の姓^surnameの拡散に関する研究で初めてブランチング・プロセスを考案し、適用したんだよ。

例: ガルトン・ワトソン・プロセス

サイコロのように繁殖する想像上の生物を考えてみよう。これらが各世代 $n$で自分を転がして現れた目の数だけの子孫^offspringサイコロを産んで死ぬ生態を持っているとしたら、その個体数 $Z_{n}$ は当然、確率過程として表されなければならないだろう。

それぞれの$n$世代の$i$番目のサイコロの目を$X_{n,i}$として、$n=0$でただひとつのサイコロ$Z_{0} = 1$で始めるとする。$n=1$の時、そのひとつのサイコロは現れた目の数だけのサイコロを産んで親のサイコロは死ぬ、式で表すと $$ Z_{1} = X_{0,1} $$ になる。$X_{0,1}$は$1$から$6$までの自然数が同じ確率で引かれる一様分布で、このシナリオで$x_{0,1} = 2$が引かれたとすると、$z_{1} = 2$は最初のサイコロが二の子孫を産んで死んだことを示していて、上の仮定とよく一致しているのが確認できる。次の世代$n=2$での個体数は $$ Z_{2} = X_{1,1} + X_{1,2} = \sum_{i=1}^{2} X_{1,i} = \sum_{i=1}^{z_{1}} X_{1,i} $$ として表される。このプロセスを$n$に対して繰り返し、一般化すると、次のような確率過程の漸化式を得る。 $$ Z_{n+1} = \sum_{i=1}^{Z_{n}} X_{n,i} $$