📂数理統計学

指数族確率分布の完全統計量

定理 ¹

パラメーター$\mathbf{\theta} = \left( \theta_{1} , \cdots , \theta_{k} \right)$が与えられて、ランダムサンプル$X_{1} , \cdots , X_{n}$の確率密度関数または確率質量関数が以下のように指数族確率分布に従うとする。 $$f(x; \mathbf{\theta}) = h(x) c (\mathbf{\theta}) \exp \left( \sum_{i=1}^{k} w_{i} \left( \theta_{j} \right) t_{i} (x) \right)$$ すると、次の統計量$T$は完全統計量である。 $$T \left( \mathbf{X} \right) = \left( \sum_{i=1}^{n} t_{1} \left( X_{i} \right) , \cdots , \sum_{i=1}^{n} t_{k} \left( X_{i} \right) \right)$$

証明

ラプラス変換の唯一性により明らかである。

■