ポアソン積分公式の導出
📂複素解析ポアソン積分公式の導出
公式
関数 f:C→C が 円 C:∣z∣=r を含む 単連結領域において 解析的だとしよう。そうすると、0<ρ<r に対して
f(ρeiϕ)=2π1∫02πr2−2rρcos(θ−ϕ)+ρ2r2−ρ2f(reiθ)dθ
導出
戦略:本質的にはコーシーの積分公式の変形だ。無数の細かい計算を通じて、導出自体は一読する以外に大きな価値はない。
まず、C 内部の f(α)=0 を満たす α に対して f(α)=2πi1∫C(z−α1−z−r2/α1)f(z)dz が成立することを示そう。
α が C 内部の点であるため、∣α∣<r が成り立ち、そして
∣α2∣r2>1
∣α∣r2=∣α∣2r2∣α∣ だから
∣α∣<∣α∣r2
実数の濃密性により、∣α∣ より大きく ∣α∣r2 より小さい ρ を半径とする 円 C′:∣z∣=ρ を考えることができる。定義により、C′:∣z∣=ρ は α を含むが αr2 は含まない。収縮補助定理により
==2πi1∫C(z−α1−z−r2/α1)f(z)dz2πi1∫C’(z−α1−z−r2/α1)f(z)dz2πi1∫C’z−α1f(z)dz−2πi1∫C’z−r2/α1f(z)dz
コーシーの積分公式により
2πi1∫C’z−α1f(z)dz=f(α)
コーシーの定理により
2πi1∫C’z−r2/α1f(z)dz=0
従って次を得る。
f(α)=2πi1∫C(z−α1−z−r2/α1)f(z)dz
一方
(z−α1−z−r2/α1)=(z−α)(z−r2/α)z−r2/α−z+α=α(z−α)(z−r2/α)1−∣r2/α2∣
したがって、まとめると
f(α)=2πi1∫Cα(z−α)(z−r2/α)1−∣r2/α2∣f(z)dz
z=reiθ,0≤θ<2π と α=ρeiϕ,0≤ϕ<2π に置き換えると
f(ρeiϕ)=====2πi1∫02π(reiθ−ρeiϕ)(reiθ−r2/ρe−iϕ)ρeiϕ(1−∣r2/ρ2∣)f(reiθ)ireiθdθ2π1∫02πρr(reiθ−ρeiϕ)(ρeiθ−reiϕ)ρreiϕ(ρ2−r2)eiθf(reiθ)dθ2π1∫02πrρe2iθ−ρ2ei(θ+ϕ)−r2ei(θ+ϕ)+rρe2iϕ(ρ2−r2)ei(θ+ϕ)f(reiθ)dθ2π1∫02πrρei(θ−ϕ)−ρ2−r2+rρei(ϕ−θ)ρ2−r2f(reiθ)dθ2π1∫02πr2−2rρcos(θ−ϕ)+ρ2r2−ρ2f(reiθ)dθ
■