📂複素解析

ポアソン積分公式の導出

公式 ¹

関数 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が 円 $\mathscr{C}: |z| = r$ を含む 単連結領域において 解析的だとしよう。そうすると、$0 < \rho < r$ に対して $$ f( \rho e ^{i \phi} ) = {{1} \over { 2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} {{r^2 - \rho^2 } \over {r^2 - 2 r \rho \cos (\theta - \phi) + \rho ^2 }} f(r e^{i \theta}) d \theta $$

導出

戦略：本質的にはコーシーの積分公式の変形だ。無数の細かい計算を通じて、導出自体は一読する以外に大きな価値はない。

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まず、$\mathscr{C}$ 内部の $f(\alpha) \ne 0$ を満たす $\alpha$ に対して $\displaystyle f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} \left( {{1} \over { z - \alpha }} - {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} \right) f(z) dz$ が成立することを示そう。

$\alpha$ が $\mathscr{C}$ 内部の点であるため、$|\alpha| < r$ が成り立ち、そして $$ {{r^2} \over {|\alpha^2|}} > 1 $$ $\displaystyle {{r^2} \over {| \overline{ \alpha } |}} = {{ r^2 } \over { |\alpha|^2 }} \left| \alpha \right|$ だから $$ |\alpha| < {{r^2} \over {| \overline{ \alpha } |}} $$ 実数の濃密性により、$|\alpha|$ より大きく $\displaystyle {{r^2} \over {| \overline{ \alpha } |}}$ より小さい $\rho$ を半径とする 円 ${\mathscr{C}} ': |z| = \rho$ を考えることができる。定義により、${\mathscr{C}} ': |z| = \rho$ は $\alpha$ を含むが $\displaystyle {{r^2} \over { \overline{ \alpha } }}$ は含まない。収縮補助定理により $$ \begin{align*} & {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} \left( {{1} \over { z - \alpha }} - {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} \right) f(z) dz \\ =& {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}’} \left( {{1} \over { z - \alpha }} - {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} \right) f(z) dz \\ =& {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}’} {{1} \over { z - \alpha }} f(z) dz - {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}’} {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} f(z) dz \end{align*} $$ コーシーの積分公式により $$ {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}’} {{1} \over { z - \alpha }} f(z) dz = f(\alpha) $$ コーシーの定理により $$ {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}’} {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} f(z) dz = 0 $$ 従って次を得る。 $$ f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} \left( {{1} \over { z - \alpha }} - {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} \right) f(z) dz $$

一方 $$ \left( {{1} \over { z - \alpha }} - {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} \right) = {{z- r^2 / \overline{\alpha} -z +\alpha} \over {(z-\alpha)(z - r^2 / \overline{\alpha} )}} = \alpha {{1 - | r^2 / \alpha^2 | } \over {(z-\alpha)(z - r^2 / \overline{\alpha} )}} $$ したがって、まとめると $$ f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} \alpha {{1 - | r^2 / \alpha^2 | } \over {(z-\alpha)(z - r^2 / \overline{\alpha} )}} f(z) dz $$ $z = r e^{i \theta}, 0 \le \theta < 2 \pi$ と $\alpha = \rho e^{ i \phi} , 0 \le \phi < 2 \pi$ に置き換えると $$ \begin{align*} f(\rho e^{ i \phi}) =& {{1} \over {2 \pi i }} \int_{0}^{2 \pi} { { \rho e^{ i \phi} ( 1 - | r^2 / \rho^2 | ) } \over {(r e^{i \theta} - \rho e^{ i \phi} )( r e^{i \theta} - r^2 / \rho e^{ -i \phi} )}} f( r e^{i \theta} ) i r e^{i \theta} d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} { { {{r} \over {\rho}} e^{ i \phi} ( \rho^2 - r^2 ) e^{i \theta} } \over { {{r} \over {\rho}} (r e^{i \theta} - \rho e^{ i \phi} )( \rho e^{i \theta} - r e^{ i \phi} )}} f( r e^{i \theta} ) d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} { { ( \rho^2 - r^2 ) e^{i (\theta + \phi)} } \over { r \rho e ^{2 i \theta} - \rho^2 e^{i ( \theta + \phi )} - r^2 e^{i (\theta + \phi)} + r \rho e ^{ 2 i \phi} }} f( r e^{i \theta} ) d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} { { \rho^2 - r^2 } \over { r \rho e ^{ i (\theta - \phi)} - \rho^2 - r^2 + r \rho e ^{ i (\phi - \theta )} }} f( r e^{i \theta} ) d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} { { r^2 - \rho^2 } \over { r^2 - 2 r \rho \cos (\theta - \phi) + \rho ^2 }} f( r e^{i \theta} ) d \theta \end{align*} $$

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