指示関数の積

定理

$x_{1} , \cdots , x_{n} \in \mathbb{R}$ と定数 $\theta \in \mathbb{R}$ について、$I_{\cdot} \left( x_{i} \right)$ の積は次のようになる。 $$ \prod_{i=1}^{n} I_{[\theta,\infty)} \left( x_{i} \right) = I_{[\theta,\infty)} \left( \min_{i \in [n]} x_{i} \right) $$

$I_{A}$ は集合 $A$ に対する指示関数だ。 $$ I_{A} (x) = \begin{cases} 1 & , x \in A \\ 0 & , x \notin A \end{cases} $$

証明

いくつかの $x_{i}$ が $[\theta , \infty)$ に属していても、最も小さい $\min x_{i}$ が $\theta$ より小さければ、結局 $0$ になり、それ以外の部分は $1$ の積であるため、すべての $x_{i}$ を考慮する必要はない。

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説明

逆方向

十分統計量に関連する定理の証明に必要だ。もちろん逆方向から次の定理を考えることもできる。 $$ \prod_{i=1}^{n} I_{(-\infty, \theta]} \left( x_{i} \right) = I_{(-\infty, \theta]} \left( \max_{i \in [n]} x_{i} \right) $$

$x$ が固定された場合

紹介された定理は $x_{1} , \cdots , x_{n} \in \mathbb{R}$ が変数で集合が固定されていた。一方、$x$ が固定されていて $A_{1} , \cdots , A_{n}$ が変数の場合、次のように指示関数の積を考えることができる。 $$ \prod_{i=1}^{n} I_{A_{i}} (x) = I_{\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}} (x) $$