📂レンマ

不等式の形で不等式を要約する

定理

$x_{1} , \cdots , x_{n}$ と正の数 $a_{1} , \cdots , a_{n} > 0$ および定数 $\theta \in \mathbb{R}$ が与えられているとしよう。 $$\forall i \in [n] : x_{i} < a_{i} \theta \iff \max_{i \in [n]} {{ x_{i} } \over { a_{i} }} < \theta$$

証明

$(\implies)$ 全ての $i \in [n]$ に対して $x_{i} / a_{i} < \theta$ が成り立つということは、最も大きな $x_{i} / a_{i}$ でさえ $\theta$ より小さいということだ。 $(\impliedby)$ 最も大きな $x_{i} / a_{i}$ でさえ $\theta$ より小さいということは、全ての $i \in [n]$ に対して $x_{i} / a_{i} < \theta$ が成り立つということだ。

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説明

反対方向

十分統計量に関連する定理の証明に必要である。当然ではあるが反対方向として以下の定理を考えてみることができる。 $$\forall i \in [n] : x_{i} > b_{i} \theta \iff \min_{i \in [n]} {{ x_{i} } \over { b_{i} }} > \theta$$