📂レンマ

不等式の形で不等式を要約する

定理

$x_{1} , \cdots , x_{n}$ と 正の数 $a_{1} , \cdots , a_{n} > 0$ 、そして定数 $\theta \in \mathbb{R}$ が与えられたとする。 $$\forall i \in [n] : x_{i} < a_{i} \theta \iff \max_{i \in [n]} {{ x_{i} } \over { a_{i} }} < \theta$$

定理

すべての $(\implies)$ に対して $i \in [n]$ が $x_{i} / a_{i} < \theta$ を満たすことは、最大の $x_{i} / a_{i}$ でさえ $\theta$ より小さいということだ。最大の $x_{i} / a_{i}$ が $\theta$ より小さいことは、すべての $(\implies)$ に対して $i \in [n]$ が $x_{i} / a_{i} < \theta$ を満たすことを意味する。

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説明

反対方向

十分統計量に関連する定理の証明に必要だ。もちろん、反対方向で以下の定理を考えることができる。 $$\forall i \in [n] : x_{i} > b_{i} \theta \iff \min_{i \in [n]} {{ x_{i} } \over { b_{i} }} > \theta$$