不等式の形で不等式を要約する
定理
$x_{1} , \cdots , x_{n}$ と 正の数 $a_{1} , \cdots , a_{n} > 0$ 、そして定数 $\theta \in \mathbb{R}$ が与えられたとする。 $$ \forall i \in [n] : x_{i} < a_{i} \theta \iff \max_{i \in [n]} {{ x_{i} } \over { a_{i} }} < \theta $$
定理
すべての $(\implies)$ に対して $i \in [n]$ が $x_{i} / a_{i} < \theta$ を満たすことは、最大の $x_{i} / a_{i}$ でさえ $\theta$ より小さいということだ。最大の $x_{i} / a_{i}$ が $\theta$ より小さいことは、すべての $(\implies)$ に対して $i \in [n]$ が $x_{i} / a_{i} < \theta$ を満たすことを意味する。
■
説明
反対方向
十分統計量に関連する定理の証明に必要だ。もちろん、反対方向で以下の定理を考えることができる。 $$ \forall i \in [n] : x_{i} > b_{i} \theta \iff \min_{i \in [n]} {{ x_{i} } \over { b_{i} }} > \theta $$