📂確率分布論

t分布からF分布への導出

定理 ¹

自由度$\nu > 0$のt分布に従う確率変数$X \sim t(\nu)$について、以下のように定義された$Y$はF分布$F (1,\nu)$に従う。 $$Y := X^{2} \sim F (1,\nu)$$

証明

カイ二乗分布を通じた回り道

$X \sim t(\nu)$は、標準正規分布に従う$Z \sim N(0,1)$と、自由度$\nu$のカイ二乗分布に従う$W$に関して $$X^{2} = \left( {{ Z } \over { \sqrt{W / \nu} }} \right)^{2} = {{ Z^{2} / 1 } \over { W / \nu }} \qquad , Z \perp W$$ であり、$Z^{2}$は自由度$1$のカイ二乗分布に従う。二つの独立したカイ二乗分布からF分布が導かれるため、$X^{2} \sim F(1, \nu)$に従う。

■

確率密度関数を通じた直接推論 ²

戦略：確率密度関数を直接推論する。

t分布の定義: 自由度$\nu > 0$に対して、以下のような確率密度関数を持つ連続確率分布$t \left( \nu \right)$をt分布という。 $$f(x) = {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \sqrt{\nu \pi} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \qquad ,x \in \mathbb{R}$$

F分布の定義: 自由度$r_{1}, r_{2} > 0$に対して、以下のような確率密度関数を持つ連続確率分布$F \left( r_{1} , r_{2} \right)$をF分布という。 $$f(x) = {{ 1 } \over { B \left( r_{1}/2 , r_{2} / 2 \right) }} \left( {{ r_{1} } \over { r_{2} }} \right)^{r_{1} / 2} x^{r_{1} / 2 - 1} \left( 1 + {{ r_{1} } \over { r_{2} }} x \right)^{-(r_{1} + r_{2}) / 2} \qquad , x \in (0, \infty)$$

---

$$\begin{align*} & Y = X^{2} \\ \implies & \sqrt{Y} = X \end{align*}$$ であり$\lambda (X) := X^{2}$が単射関数ではないため、$X$のサポートは$x \ge 0$と$x < 0$の二つに分かれる。そのヤコビアンは $dy = 2 x dx$ であるため、$Y$の確率密度関数$f_{Y}$は $$\begin{align*} f_{Y}(y) =& \sum_{k=1}^{2} {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \sqrt{\nu \pi} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \cdot \left| {{ 1 } \over { 2x }} \right| \\ =& {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \sqrt{\nu \pi} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \cdot {{ 1 } \over { x }} \end{align*}$$ から計算されるだろう。

ベータ関数とガンマ関数の関係: $$B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }}$$

オイラーの反射公式により$\sqrt{\pi} = \Gamma (1/2)$であり、上述の補題に基づいて $$\begin{align*} f_{Y}(y) =& {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma (1/2) \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} {{ 1 } \over { \sqrt{\nu} }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} x^{-1} \\ =& {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma (1/2) \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} {{ 1 } \over { \sqrt{\nu} }} \sqrt{y}^{-1} \left( 1 + {{ y } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \\ =& {{ 1 } \over { B (1/2, \nu/2) }} \left( {{ 1 } \over { \nu }} \right)^{1/2} y^{1/2-1} \left( 1 + {{ 1 } \over { \nu }} y \right)^{- {{ 1 + \nu } \over { 2 }}} \end{align*}$$

■