📂確率論

幾何ブラウン運動

定義 ¹

$\mu \in \mathbb{R}$と$\sigma^{2} > 0$によって与えられる確率微分方程式があるとしよう。 $$ d X_{t} = X_{t} \left( \mu dt + \sigma d B_{t} \right) $$ このSDEの解は初期値$X_{0}$に対して、次のような確率過程で求められ、「ジオメトリックブラウン運動」と呼ばれる。 $$ X_{t} = X_{0} \exp \left[ \left( \mu - {{ \sigma^{2} } \over { 2 }} \right) t + \sigma B_{t} \right] $$

解説

**ジオメトリックブラウニアンモーション(GBM)**は、金融や経済の分野で指数のトレンドを説明する基本的なモデルとして有名だ。ジオメトリックという表現は、指数的に増加する等比数列の和である幾何級数から来ているようで、幾何学とは関係がない。

ログ正規分布

応用を除外して単純に数学的性質だけを考えた場合、GBMの最も大きな特徴は、ログを取ったときに正規分布に従うこと―つまり、ログ正規分布に従うことだ。数式的に見れば、$\exp$に正規分布に従うブラウニアンモーションが含まれているので、当然のことだ。

ダイナミクス

人口動態学の観点から、GBMで表されるシステムはマルサス成長モデル $N ' = r N$にノイズ項$X_{t} \sigma d B_{t}$が追加されたものに過ぎない。確かにGBMを確率微分方程式の解として定義する必要は厳密にはないが、このように決定論的な常微分方程式の知られた性質をすぐに知ることができるので、理解に非常に役立つ。

金融工学

GBMの代表的な応用は、株価などの基礎資産の価格変動を説明することだ。人口の変動量が全体人口に比例するように、資産の価格変動も資産の価格に比例し、上場廃止にならない限り負の数になることはないなど、多くの良い仮定を持っている。

ある株の価格$p_{t}$がGBMに従うと仮定する。$t$日目の終値を$t-1$日目の終値で割り、ログを取った $$ r_{t} = \nabla \log p_{t} = \log {{ p_{t} } \over { p_{t-1} }} $$ はリターン―リターンと呼ばれ、株価の大きさに関係なく、価格が上がれば正の数、下がれば負の数になり、私たちの直感と一致する。ログ正規分布の節で説明したように、このリターンは正規分布に従い、単純な上昇や下降ではなく、株価の成長と逆成長その本質に興味を持つことができる。