📂確率微分方程式

小路-尾崎 局所線形化メソッド

ビルドアップ¹

$$d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t}$$ 拡散$g$が$X_{t}$にのみ依存し、時間$t$には独立である確率微分方程式が与えられたとしよう。$Y_{t}$がある定数$\sigma$に対して$\phi ’ \left( X_{t} \right) g \left( X_{t} \right) = \sigma$である$\phi \in C^{2}$によって$Y_{t} := \phi \left( X_{t} \right)$として表されるとしたら、伊藤の公式に従って、ある関数$b$に対して $$\begin{align*} d Y_{t} =& \left( f \phi’ + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} \phi’’ \right) dt + g \phi’ d W_{t} \\ =& b \left( X_{t} \right) dt + \sigma d W_{t} \end{align*}$$ 変換するか、または拡散を定数$1$とするランペルティ変換を考えよう。

メソッド

$$d X_{t} = f \left( X_{t} \right) dt + \sigma d W_{t}$$

以下は、間隔が$h$で一定の等間隔時点で与えられた微分方程式の数値的解を求めるメソッドである。

尾崎メソッド²

$$X_{t + h} = \exp \left( L_{t} h \right) X_{t} + \sigma \sqrt{ {{ \exp \left( 2 L_{t} h \right) - 1 } \over { 2 L_{t} }} }$$ ここで、$L_{t}$は次のように求められる。 $$\begin{align*} L_{t} =& {{ 1 } \over { h }} \log \left[ 1 + J_{t}^{-1} \left( \exp \left( J_{t} h \right) - 1 \right) F_{t} \right] \\ J_{t} =& \left( {{ \partial f(x) } \over { \partial x }} \right)_{x = x_{t}} \\ F_{t} =& {{ f \left( x_{t} \right) } \over { x_{t} }} \end{align*}$$ $J_{t}$はヤコビアンである。

庄司・尾崎メソッド³

$$\begin{align*} X_{t + h} =& X_{t} + {{ f \left( t, X_{t} \right) } \over { L_{t} }} \left( \exp \left( L_{t} h \right) -1 \right) + {{ M_{t} } \over { L_{t}^{2} }} \left[ \exp \left( L_{t} h - 1 \right) - L_{t} h \right] \\ & + \sigma \int_{t}^{t+h} \exp \left[ L_{t} \left( t + h - u \right) \right] d W_{u} \end{align*}$$ ここで、$L_{t}$と$M_{t}$は次のように求められる。 $$\begin{align*} L_{t} =& {{ \partial f } \over { \partial x }} \left( t, X_{t} \right) \\ M_{t} =& {{ \sigma^{2} } \over { 2 }} {{ \partial^{2} f } \over { \partial x^{2} }} \left( t, X_{t} \right) + {{ \partial f } \over { \partial t }} \left( t, X_{t} \right) \end{align*}$$

説明

局所線形化^{local Linearization}は、非常に短い時間間隔$h$でドリフト^driftを線形関数に近似するアプローチであり、主に尾崎徹と庄司功によって活発に研究されている。庄司の定理⁴によると、庄司・尾崎局所線形化メソッド $\tilde{X}_{t}$ の $p$次の収束率は$2$であり、つまり以下が成立する。 $$E_{s} \left| X_{t} - \tilde{X}_{t} \right|^{p} = O \left( (t-s)^{2p} \right)$$