📂確率微分方程式

イート・テイラー展開導出

定理¹

$$d X(t) = f \left( X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t} \qquad , t \in [0, T]$$ イートー過程が上のような自律確率微分方程式の解として与えられているとしよう。$f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$が線形成長条件を満たすなら、つまりある定数$K$に対して$\begin{cases} \left| f \left( X_{t} \right) \right| \le K \left( 1 + \left| X_{t} \right|^{2} \right) \\ \left| g \left( X_{t} \right) \right| \le K \left( 1 + \left| X_{t} \right|^{2} \right) \end{cases}$が成り立ち、十分に多く微分可能なら以下が成り立つ。 $$X_{t} = X_{0} + f \left( X_{0} \right) \int_{0}^{t} ds + g \left( X_{0} \right) \int_{0}^{t} d W_{s} + R$$ ここで、余剰^remainder$R$は以下の通りだ。$L^{k}$は導出過程で登場するオペレーターだ。 $$R = \int_{0}^{t} L^{0} f \left( X_{z} \right) dz ds + \int_{0}^{t} L^{1} f \left( X_{z} \right) dW_{z} ds + \int_{0}^{t} L^{0} g \left( X_{z} \right) dz dW_{s} + \int_{0}^{t} L^{1} g \left( X_{z} \right) dW_{z} dW_{s}$$

説明

イトー・テイラー展開は、確率的テイラー公式^{stochastic Taylor formula}とも呼ばれる定理だ。式的には、積分の中にあった$f \circ X_{t}$と$g \circ X_{t}$が$t=0$で評価され^evaluated定数項として外に出てきて、それにより発生する誤差を$R$でまとめたものと考えることができる。

導出

$$X (t) = X_{0} + \int_{0}^{t} f(s) ds + \int_{0}^{t} g(s) d W_{s}$$ イートー過程の積分形をこのように考えてみよう。

イートーの公式: イートー過程$\left\{ X_{t} \right\}_{t \ge 0}$が与えられているとしよう。 $$d X_{t} = u dt + v d W_{t}$$ 関数$V \left( t, X_{t} \right) = V \in C^{2} \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right)$に対して$Y_{t} := V \left( t, X_{t} \right)$とすると、$\left\{ Y_{t} \right\}$もイートー過程で、次が成り立つ。 $$\begin{align*} d Y_{t} =& V_{t} dt + V_{x} d X_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} \left( d X_{t} \right)^{2} \\ =& \left( V_{t} + V_{x} u + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} v^{2} \right) dt + V_{x} v d W_{t} \end{align*}$$

$X_{t}$に二次微分可能で連続な関数$h \in C^{2} \left( \mathbb{R} \right)$を取ると、イートーの公式により $$\begin{align*} h \left( X_{t} \right) =& h \left( X_{0} \right) + \int_{0}^{t} \left[ f \left( X_{s} \right) {{ \partial } \over { \partial X }} h \left( X_{s} \right) + {{ 1 } \over { 2 }} \left[ g \left( X_{s} \right) \right]^{2} {{ \partial^{2} } \over { \partial X^{2} }} h \left( X_{s} \right) \right] ds \\ & + \int_{0}^{t} g \left( X_{s} \right) {{ \partial } \over { \partial X }} h \left( X_{s} \right) d W_{s} \\ =& h \left( X_{0} \right) + \int_{0}^{t} L^{1} h \left( X_{s} \right) ds + \int_{0}^{t} L^{1} h \left( X_{s} \right) d W_{S} \end{align*}$$ ここで、$L^{0}$と$L^{1}$は以下のように定義されるオペレーターだ。 $$\begin{align*} L^{0} &:= f {{ \partial } \over { \partial X }} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} {{ \partial^{2} } \over { \partial X ^{2} }} \\ L^{1} &:= g {{ \partial } \over { \partial X }} \end{align*}$$ これを形式的に$h = f$と$h = g$に適用して、元の与えられていた積分形のイートー過程の$f \left( X_{t} \right)$と$g \left( X_{t} \right)$に代入すると、次を得る。 $$\begin{align*} X (t) =& X_{0} + \int_{0}^{t} f(s) ds + \int_{0}^{t} g(s) d W_{s} \\ =& X_{0} + \int_{0}^{t} \left( {\color{Red} f \left( X_{0} \right)} + \int_{0}^{s} L^{1} f \left( X_{z} \right) dz + \int_{0}^{s} L^{1} f \left( X_{z} \right) d W_{z} \right) ds \\ & + \int_{0}^{t} \left( {\color{Red} g \left( X_{0} \right)} + \int_{0}^{s} L^{1} g \left( X_{z} \right) ds + \int_{0}^{s} L^{1} g \left( X_{z} \right) d W_{z} \right) d W_{s} \\ =& X_{0} + \int_{0}^{t} f \left( X_{0} \right) ds + \int_{0}^{t} g \left( X_{0} \right) d W_{s} + R \\ =& X_{0} + f \left( X_{0} \right) \int_{0}^{t} ds + g \left( X_{0} \right) \int_{0}^{t} d W_{s} + R \end{align*}$$

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